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            数学与应用数学专业2002级函授本科毕业论文


            数学与应用数学专业 2002 级函授本科毕业论文参考题目
            1.数学分析中的构造法证题术, 参考文献: 《数学分析选讲》 刘广云编著 《数学分析教材》 《数学分析方法论一题》刘广云编著 2.用微积分理论证明不等式的方法 参考文献:同 1. 3.数学分析中的化归法 参考文献:同 1 . 4.微积分与辩证法 参考文献: 《自然辩证法》 恩格斯著 《反杜林论》 恩格斯著 《关于无限与有限、运动与静止、曲与直的辨证关系的探索》刘广云 《数学方法论选讲》 5.数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 参考文献: 《数学方法论选讲》 徐利治著 《科学争论集》 《科学悖论集》 《数学思想和思想哲学》 6.中国古代数学中的无理数理论 参考文献: 《九章算术导读》 《数书九章导读》 《吴文俊论数学机械化》 7.二阶常微分方程的解法 参考文献: 《常微分方程》 8.中国古代数学中的极限思想 参考文献: 《中国数学史大系》 《九章算术导读》 9.负数理论在中国 参考文献:同 8. 10. 试谈创新性教育 参考文献: 《数学方法论导读(徐利治著) 》 《数学方法论(郑敏信著) 》 《学科方法论模式教育》刘广云 11、试论梯度、散度与旋度 要求:1.讲清物理背景 2.阐明内在联系 3.论证主要性质 参考书目:1、2、10 12、试论导函数、原函数的有关性质 要求:1. 论述导函数没有第一类间断点 2.原函数存在与可积性 3.原函数存在定理及应用 参考书目:1、2、8、9 13、积分学中一类公式的证明 要求:1。以引理:设 f(x)和 g(x)在[a,b]上可积,则
            lim ? f (? i )g (? i )?xi ?
            ? ?0
            i ?1 n

            ?

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx 其中 ? i, ? i∈[xi-1,xi],(i=1,2,?,n),x0=a,xn=b,

            Δ xi=xi-xi-1,λ = max ??xi ?
            1?i ? n

            为基础
            b

            证明:1)曲线绕 x 轴旋转一周所得曲面面积 s ? 2? ? f ( x) 1 ? ( f ?( x) ) 2 dx
            a

            2)第二型曲线积分化为定积分的计算公式 2.将引理推广到二重积分的情形,得出类似的引理,进而证明: 1)曲面面积计算公式 2)第一型曲面积分的计算公式 参考书目: 1.2.8.9 14、在上有界闭域的 D 中连续函数的性质 要求::叙述并证明:有界性、最值、介值及一致连续性定理. 参考书目:1、2、9 15、试论数 e[orπ ] 要求:1。e(orπ )的定义 2.无理数超越性 3.近似表达式 4.在分析中的地位 参考书目:6、7、9 16、试论常微分方程的奇解 1) 何谓奇解 2) 奇解的产生 3) 如何判别:从理论上证明 c-判别曲线与 p-判别曲线方法 参考书目:3、4、5 17、试论求解一阶常微分方程的积分因子法 1) 积分因子的存在性 2) 求法 参考书目:3、4、5 参考书目:1。数学分析(上、下册) 华东师大编 2.数学分析简明教程(上、下册) 邓东皋、尹小玲编 3.常微分方程 王高雄编 4.常微分方程讲义 王柔怀、伍卓群编 5.常微分方程基础 丁同仁编 6.E 的奥秘 (日)堀场芳数编 7.π 的奥秘 8.数学分析中的一些新思想与新方法 张志军编 9.数学分析问题研究与注 汪林等编 10. 高等数学教程上、下册 宋亚泰等主编 18.二次曲线中点弦的性质 在解析几何中,利用二次曲线弦的中点的坐标,可导出中心、直径、共轭直径等二次曲 线的一些性质,在高等几何中这些性质进行了推广,并且还有更多的一些内容,如切点弦的 性质等。 参考资料: 《解析几何》 吕林松、许子道编 《高等几何》 钟集编 《高等几何》 朱德祥编 19.用射影的观点指导中学初等几何内容 高等几何中主要讲射影几何内容, 用射影观点看待中学内容 , 证明某些初等几何问题可 有事半功倍效果,也可以推广证明的结论,这对中学几何教学具有指导得意义。 20.用近代公理分析中学几何中的公理系统 《几何基础》对初等的公理系统进行详尽地分析,对中学的几何教育具有教学指导意义,如 何看待现有中学教材中的公理体系呢?为什么有些公理不讲,而又补充许多新的公理?怎么 来看待公理系统的“想容性” 、 “独立性”和“完备性”呢?对此可以进行研究分析。

            参考资料: 《几何基础》李云普、任国新等 《几何基础》傅章秀编等 21.球上 Hardy 空间上的加权复合算子 简介:将利用广义的 Carleson 测度去刻画球上不同 Hardy 空间上的加权复合算子 参考资料:1)罗罗?史济怀。单位球上不同 Hardy 空间上的复合算子。数学学报---2001、44、 2、209-216 2)徐宪民。复合算子理记科学出版社。1999 22.多圆盘上不同 Bergman 空间上的加权复合复合算子 简介:刻划多圆盘上不同 Bergman 空间上的加权复合算子 参考资料:1)李 孝、胡 云。多圆盘上不同 Bergman 空间上的复合算子将发表在数学的实 践与认识 2)徐宪民。复合算子理论。科学出版社 23.从加权 Bergman 空间到 Bloch 空间的加权复合算子 简介:去刻划加权 Bergman 空间到 Bloch 空间的加权算子的有界性及紧性 参考资料:1)Perez-Gonzalez F. and xiao J. Bloch-Hardy pullbacks. Acta ci Math (szeged), 2001.67. 709-718 2)徐宪民。复合算子理论。科学出版社。1999 24.从加权 Bergman 空间到加权 Bloch 空间的加权复合算子 简介:刻划加权 Bergman 空间到加权 Bloch 空间的加权复合算子的有界性及紧性 参考资料:1)Perez-Gonzalez F. and xiao J. Bloch-Hardy pullbacks. Acta ci Math (szeged), 2001.67. 709-718 2)徐宪民。复合算子理论。科学出版社。1999

            25.一个不等式的推广 简介:文献《几何不等式》[M]、O、Bottema 等著。单尊译。北京大学出版社。1991 给出了如下一个三角形不等式:

            1 a2 ? b2 ? c2 1 设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,则 ? ? ,当且仅当 a=b=c 时等号成立,试 3 (a ? b ? c) 2 2
            推广之。 26.一个矩阵式成立的条件
            ? a1 ? ? ? ? a2 ? 简介:设 a= ? ? ,其中 a1+a2+a3+a4=1, ai ? 0 , (i=1,2,3,4) a ? 3? ?a ? ? 4?

            且必有一解 i 为 0

            ? b1 ? ? c1 ? ? ? ? ? ? b2 ? ? c2 ? 试寻找矩阵式 a=circ(b)c 成立的条件,其中 b= ? ? 与 c= ? ? 中各元素之和为 1,且只有两个 b c ? 3? ? 3? ?b ? ?c ? ? 4? ? 4? ? b1 ? ? b2 circ(b)= ? b ? 3 ?b ? 4

            非 0.

            b4 b3 b 2 ? ? b1 b4 b3 ? b2 b1 b 4 ? ? b3 b2 b1 ? ?

            27.对每个 n≥2,试找出所有形如 n q 的无理数,其中 q 为非零正整数. 28.令 K ? Q

            ?

            p , q ,其中 Q 为有理数域,p、q∈z,为平方自由整数,找出 k 的所有本原元 ? 并找出

            ?

            ? 在 Q 上的极小多项式. 29.刻画 I[x] ,K[x,y](进而 R[x],R 为 Pid)中的素理想,其中 I 为整数环,K 为域。 30.给出求方程 X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 31. 对于每个 n≥2,找出对称群 Sn 在 Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中 Mn(Z)为整数环 Z 上的 n 阶矩 阵环.
            32.给出 Euler 定理(若(a,m)=1, 则 a? ( m) ? 1(modm) ) 的三种不同证明。 33.试论矩阵环(代数)Mn(K)的基本结构性质,其中以为域,n≥2. 34.试述函数在数学中的地位和作用。 要求:1、阐明初等函数在中学数学中的地位和作用。 (结合中学数学教学内容) 2、阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 (着重说明函数理论在研究近代科学技术上应用) 参考资料:高中数学(教本)高等数学(教本) 初等代数研究教程(王林全主编暨南大学出版社) 35. 浅谈微分学(或积分学)在中学数学教学中的应用 要求:1、从高等数学与初等数学的联系中说明微分学(或积分学)在数学中的地位和作用。 2、考查微分学(或积分学)在中学数学解题中作用(举例说明) 3、谈提高中学教师的现代数学修养的必要性、可能性。 参考资料: 1、高中课本(高三教材)2、微积分(经济应用数学基础理超树 著编)3、数学教育研究导引 (张奠宙主编江苏教育出版社)4、数学分析问题研究与评注(汪林案编著科学出版社)5、高 中数学重难点手册(华中师范大学出版社) 36、论在数学教学中培养学生的创新精神。 要求:1、从应试教育的利弊谈素质教育的必要性。 2、素质教育中谈培养创新精神的必要性。 3、从实习中了解当前学生创新精神的现状。 4、培养学生创新精神的方法与作法。 参考资料:1、中国教育报: (2001 年—2003 年教育工作会议的召开) 2、中学数学杂志《中学数学报》 《数学通讯》 3、嘉应教育论坛。 37、初等几何变换在中学数学(代数、几何、三角)中的应用 要求:1、阐明变换群在中学数学概念,指出初等几何中常见的变换群的例子。 2、阐明几种特殊的合同变换—平移、旋轴、轴反射的性质及它们之间的关系 3、阐明平移、旋转、反射在解几何题中应用(举例说明) 4、阐明平移、旋转、反射在代数和三角中的应用(同上) 参考资料: 1、初等几何研究教程(王林全主编暨南大学出版社) 2、初等数学复习与研究(平面几何) (深绍鸿编,人民教育出版社) 3、平面几何初等变换(周春荔编著,中等数学) 4、初等几何研究与教学法(山东师专编) 38.微积分学的哲学返思 (1) 提要:以微积分的基本功公式为主线,把微积分学的一些概念、原理、法则规律和方 法升到更具一般性的哲学范畴去认识,从而使它们具有哲学层次的世界观和方法论意 义。哲学的思考,不仅会帮助我们理解和掌握微积分的科学技术方法,而且能够提升 我们的数学文化品位。 (2) 参考书:1、数学分析教材 2、数学思想和数学哲学,周述岐著,中国人民大学出版社出版 1993.12 3、哲学教材 (3) 方法:归纳概括,比较,分析。 39.数理统计学的哲学思考

            提要:数理统计学的哲学思考就是对数理统计思想方法进行哲学考察。数理统计的思想蕴含在数 理统计的方法之中,它是数理统计方法的实质,而数理统计方法则是数理统计思想的载体,而哲 学是人类理性关于宇宙的总看法的一系列观念、概念体系。本课题核心是探索数理统计思想的哲 学意义,归纳,概括和抽象数理统计方法的思想并使之升华到哲学层面,从而在哲学层面上研究 数理统计的本质、对象、方法体系以及学科体系等理论问题 参考书:1、概率论与数理统计教材 2、哲学教材 3、方法:归纳、概括、抽象、比较分析 40.从随机方法(概率方法)处理非随机数学问题看数学的统一性。 提要:从哲学角度看,随机与非随机是一对矛盾,就概率论和其他数学科的研究对旬而言,是两 个世界,为何在解决问题时,确 性的数学方法与随机性的数学方法(主要是 方法)可以互用 呢?我们通过研究一些用概率方法计算或证明确定性数学问题(如无理数 的计算,某些组合恒 等式的证明,定积分中一致连续性的证明和某些定积分的计算等) ,进一步考察,认识社会数学 的抽象性与统一性等特点。 参考书:1、概率统计教材 2、数学思想方法 解泽思 3、数学方法论选讲(第三级) 徐利治 4、方法:归纳、概括、抽象 41.构造函数证题的妙想与思维方法的特点 提要:譬如微积分学中中值定理的证明:概率论中用特证函数证明,随机是函数之间的独立性与 求几个随机变量和联合分布; 常 分方程中的拉普斯变换等 至一些习题中常常用造构函数手法证 题,都是借他山之石,攻彼山之玉,收效甚佳。那么,构造法思维的逻辑起点与特点及其它的方 法论意义何在?研讨本问题对于培养制造思维能大有益。 参考书:1、微积分教材,解题 2、概率论教材,解题 3、常微分方程教材 4、相关杂志论文 42.高等数学俯视中学数学 (1) 提要:从大学所学的微积分,高等代数,空间解析几何等联系中学的代数,几何从研究对 象,研究方法,思维特点,研究内容等看它们之间的联系与区别,以便有高观点,深认识 并可学以致用,服务于中学数学教学。 (2) 参考书: 1、高观点下的中学数学,吕世 等编,科学技术出版社。 2、数学教育学报 2003.3《从高等代数看中学代数的思想方法》 侯维民文 3、微积分高等代数,空间解析几何教材 (3) 方法 归纳、比较、分析 43、数学知识的分类及其教学策略 说明: 教育心理学象对知识的分类意见较多,如何对知识作出划分,在相当大程度上影响了教育学家, 心理学家对学习过程及教学过程的分析与思考,形成了对学习理论成教学理的重大问题的不同见解。 要求:分析各种知识分类方法的优缺点,提出知识分类理论对数学教学的指导意义。 参考文献 1、皮连生《知识分类与目标导向数学》 2、皮连生《教学设计》 3、教育类期刊有关论文 44、数学知识的分类测量与评价 说明: 知识分类测评的思想及研究主要体现在知识分类学习论和教学论的思想之中。 知识分类测评也 就是在相应的知识分类教学情境中, 针对不同类型知识的不同性质测试和评价学生不同类型知识的学 习情况。 要求:提出数学知识分类测评的理念及测评的模式。 参考文献: (1)皮连生《知识分类与目标导向教学》 (2)孟庆茂《新世纪心理与教育测量展望》 (3)教育类期刊有关论文

            45.关于导函数性态的讨论与研究 简介:导函数有自己的特性,典型的有无第一类间断点,介值性。这一题目期望在此基础上对导 数的其它性质及其应用作一探讨与研究。 参考资料[1]华东师大数学系, 《数学分析》 ,高等教育出版社 [2]裴礼文, 《数学分析中典型问题与方法》 ,高等教育出版社 x 46、关于指数函数 y=e 简介:对指数函数的定义,性质及其应用进行部分或较全面的探讨,从而对这一函数有更清楚的 认识 参考资料:同题目 45 47.泰勒公式及其应用 简介:主要讨论泰勒公式在理论研究及解题方面的意义及应用 参考资料:同题目 45 48.概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用 简介:利用构建概率模型等概率方法,证明常 一些等式,不等式及其它学科的一些定理。 参考资料:[1]魏宋舒, 《概率论与数理统计教程》 ,高等教育出版社 [2]梅长林等, 《概率论与数理统计—学习与提高》 ,西安交通大学出版社 49.随机变量函数的分布密度及其求法 简介:在深入理解概念的基础上,从新的角度探讨部分随机变量函数的分布密度的求法。 参考文献:同题目 48


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