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            高中新课标选修4-5不等式选讲复习


            数学选修 4-5 [基础训练 A 组]
            一、选 择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A.

            不等式选讲

            3.求证: a + b ≥ ab + a + b ? 1
            2 2

            )

            x +4 x y 2.若 x, y ∈ R 且满足 x + 3 y = 2 ,则 3 + 27 + 1 的最小值是(
            2

            x y + y x

            B.

            x +5
            2

            C. tan θ +

            1 tan θ

            D. 2 x + 2? x )

            4.证明: 2( n + 1 ? 1) < 1 +

            1 1 1 + + ... + <2 n 2 3 n

            A. 3 3 9

            3.设 x > 0, y > 0, A =

            x+ y x y , B= + ,则 A, B 的大小关系是( 1+ x + y 1+ x 1+ y A. A = B B. A < B C. A ≤ B D. A > B + 4.若 x, y , a ∈ R ,且 x + y ≤ a x + y 恒成立,则 a 的最小值是( )

            B. 1 + 2 2

            C. 6

            D. 7 )
            [来源:Z,xx,k.Com]

            [综合训练 B 组]
            一、选择题

            2 A. B. 2 C. 1 2 5.函数 y = x ? 4 + x ? 6 的最小值为(
            A. 2 B. 2 C. 4 6.不等式 3 ≤ 5 ? 2 x < 9 的解集为( A. [ ?2,1) U [4, 7) 二、填空题

            1 D. 2
            ) D. 6 )

            [来源:学。科。网 Z。X。X。K]

            B. (?2,1] U (4, 7]

            C . ( ?2, ?1] U [4, 7)

            D. (?2,1] U [4, 7)

            1 1 n + ≥ 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c B. 3 C. 4 D. 6 A. 2 2 x ? 2x + 2 2. 若 x ∈ ( ?∞,1) ,则函数 y = 有( ) 2x ? 2 C.最大值 ?1 D.最小值 ?1 A.最小值 1 B.最大值 1 3.设 P = 2 , Q = 7 ? 3 , R = 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P > Q > R B. P > R > Q C. Q > P > R D. Q > R > P
            1.设 a > b > c, n ∈ N ,且 4.设不等的两个正数 a, b 满足 a ? b = a ? b ,则 a + b 的取值范围是(
            3 3 2 2

            )

            ) )

            1 的最小值是_____________。 1.若 a > b > 0 ,则 a + b(a ? b) a b b+m a+n 2.若 a > b > 0, m > 0, n > 0 ,则 , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a+m b+n 3.已知 x, y > 0 ,且 x 2 + y 2 = 1 ,则 x + y 的最大值等于_____________。 1 1 1 1 4.设 A = 10 + 10 + 10 + LL + 11 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 2 2 +1 2 + 2 2 ?1 12 5.函数 f ( x ) = 3 x + 2 ( x > 0) 的最小值为_____________。 x
            [来源:学科网 ZXXK]

            [来源:学。科。网 Z。X。X。K]

            A. (1, +∞)

            B. (1, )

            4 3

            C. [1, ]

            4 3

            D. (0,1)

            5.设 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 1 ,若 M = ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( A. 0 ≤ M <

            1 a

            1 b

            1 c

            )

            三、解答题 1.已知 a + b + c = 1 ,求证: a + b + c ≥
            2 2 2

            1 ≤ M < 1 C. 1 ≤ M < 8 D. M ≥ 8 8 a b 6.若 a, b ∈ R + ,且 a ≠ b, M = + , N = a + b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a A. M > N B. M < N C. M ≥ N D. M ≤ N
            B. 二、填空题 1.设 x > 0 ,则函数 y = 3 ? 3 x ?

            1 8

            1 3

            1 的最大值是__________。 x 2.比较大小: log 3 4 ______ log 6 7
            3.若实数 x, y , z 满足 x + 2 y + 3 z = a ( a为常数) ,则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为

            2.解不等式 x + 7 ? 3 x ? 4 + 3 ? 2 2 > 0

            4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a + b + c + d = 4 ,用 M 表示

            a + b + c, a + b + d , a + c + d , b + c + d 中的最大者,则 M 的最小值为__________。

            5.若 x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1, xyz = 10 ,且 x 三、解答题

            lg x

            ? y lg y ? z lg z ≥ 10 ,则 x + y + z = _____ 。

            4.设 b > a > 0 ,且 P =

            2 1 1 + a2 b2

            ,Q =

            2 1 1 + a b

            , M =

            ab , N =

            1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 + x ? 4 < a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

            a+b a2 + b2 ,R = , 2 2

            则它们的大小关系是( A. P < Q < M < N < R

            ) B. Q < P < M < N < R D. P < Q < M < R < N

            2.求证:

            a2 + b2 + c 2 a + b + c ≥ 3 3

            C. P < M < N < Q < R 二、填空题 1.函数 y =
            2

            3x ( x < 0) 的值域是 . x + x +1 2.若 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 1 ,则 a + b + c 的最大值是 3.已知 ?1 < a, b, c < 1 ,比较 ab + bc + ca 与 ?1 的大小关系为
            4.若 a > 0 ,则 a +

            .

            [来源:学&科&网 Z&X&X&K]

            3.当 n ≥ 3, n ∈ N 时,求证: 2 ≥ 2( n + 1)
            n

            1 1 ? a 2 + 2 的最大值为 . a a 5.若 x, y , z 是正数,且满足 xyz ( x + y + z ) = 1 ,则 ( x + y )( y + z ) 的最小值为______。
            三、解答题 1. 设 a, b, c ∈ R ,且 a + b = c ,求证: a + b > c
            +

            2 3

            2 3

            2 3

            4.已知实数 a, b, c 满足 a > b > c ,且有 a + b + c = 1, a 2 + b 2 + c 2 = 1 求证: 1 < a + b <
            [来源:学_科_网]

            4 3

            2.已知 a > b > c > d ,求证:

            1 1 1 9 + + ≥ a ?b b?c c ?a a ? d

            [提高训练 C 组]
            一、选择题 1.若 log x y = ?2 ,则 x + y 的最小值是( A. 3.已知 a, b, c ∈ R + ,比较 a + b + c 与 a b + b c + c a 的大小。
            3 3 3 2 2 2

            ) D.

            2 2 3 a b c d + + + , 2. a, b, c ∈ R + ,设 S = a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b
            B. C.

            33 2 2

            23 3 3

            3 2

            3

            4.求函数 y = 3 x ? 5 + 4 6 ? x 的最大值。

            则下列判断中正确的是( ) A. 0 < S < 1 B. 1 < S < 2 C. 2 < S < 3

            D. 3 < S < 4 ) 5.已知 x, y , z ∈ R ,且 x + y + z = 8, x 2 + y 2 + z 2 = 24 求证:

            1 16 x 3.若 x > 1 ,则函数 y = x + + 2 的最小值为( x x +1 A. 16 B. 8 C. 4 D.非上述情况

            4 4 4 ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ 3 3 3 3

            新课程高中数学训练题组参考答案
            数学选修 4-5
            一、选择题 1.D 2.D 3.B

            不等式选讲 [基础训练 A 组]

            ∴ a2 + b2 + c2 ≥
            另法一:Q a + b + c ?
            2 2 2

            Q 2 x > 0, 2? x > 0,∴ 2 x + 2? x ≥ 2 2 x 2? x = 2

            3x + 33 y + 1 ≥ 2 3x ? 33 y + 1 = 2 3x +3 y + 1 = 7 x y x y x+ y B= + > + = = A ,即 A < B 1+ x 1+ y 1+ x + y 1+ y + x 1+ x + y
            Q
            x2 + y 2 x + y 2 ≥ ,即 x 2 + y 2 ≥ ( x + y) , 2 2 2

            4.B

            5.A 6.D

            2 ( x + y ) ,而 x + y ≤ a x + y , 2 1 1 2 即 x + y ≥ ( x + y ) 恒成立,得 ≤ , 即a ≥ 2 a a 2 y = x?4 + x?6 ≥ x?4+6? x = 2 ∴ x+ y ≥

            1 (a + b + c) 2 = a 2 + b2 + c 2 ? 3 3 1 = (2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac) 3 1 = [(a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (a ? c) 2 ] ≥ 0 3 1 ∴ a2 + b2 + c2 ≥ 3 2 2 2 2 另法二:Q (1 + 1 + 1 )( a + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c ) 2 = 1 1 2 2 2 即 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ,∴ a + b + c ≥ 3 2.解:原不等式化为 x + 7 ? 3 x ? 4 + 2 ? 1 > 0
            [来源:Zxxk.Com]

            1 3

            ? 2 x ? 5 < 9 ? ?9 < 2 x ? 5 < 9 ??2 < x < 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] U [4, 7) ? ? 2 x ? 5 ≥ 3 ?2 x ? 5 ≥ 3, 或2 x ? 5 ≤ ?3 ? x ≥ 4, 或x ≤ 1 ?
            ( a ? b) + b +

            二、填空题

            1 1 ≥ 3 3 ( a ? b) ? b ? =3 b( a ? b) b( a ? b) b b+m a+n a b b+m 2. < < < 由糖水浓度不 等式知 < < 1, a a+m b+n b a a+m b b+n a a+n a+n a 且 < < 1 ,得 > > 1 ,即 1 < < a a+n b b+n b+n b
            1. 3 3. 2

            [来源:Zxxk.Com]

            4 时,原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 3 2 4 2 得 x < 5+ ,即 < x < 5 + ; 2 3 2 4 当 ?7 ≤ x ≤ 时,原不等式为 x + 7 + (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 3 1 2 1 2 4 得x>? ? ,即 ? ? <x≤ ; 2 4 2 4 3 当 x < ?7 时,原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0
            当x>

            x+ y x2 + y2 ≤ , x + y ≤ 2 x2 + y 2 = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4. A < 1 A = 10 + 10 + 10 + LL + 11 < 10 + 10 + 10 + LL + 10 = 1 2 2 +1 2 + 2 2 ? 1 14444244443 2 2 2 2
            210 个

            2 ,与 x < ?7 矛盾; 2 1 2 2 所以解为 ? ? < x < 5+ 2 4 2 2 2 3.证明:Q ( a + b ) ? ( ab + a + b ? 1)
            得x > 6?
            [来源:学科网 ZXXK]

            = a + b ? ab ? a ? b + 1
            2 2

            5. 9

            f ( x) = 3x +

            12 3 x 3x 12 3x 3 x 12 = + + 2 ≥ 33 ? ? =9 2 x 2 2 x 2 2 x2

            三、解答题 1.证明:Q a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c ) 2 ? (2ab + 2bc + 2ac )

            ≥ (a + b + c) 2 ? 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ∴ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 = 1

            1 (2a 2 + 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b + 2) 2 1 = [(a 2 ? 2ab + b 2 ) + (a 2 ? 2a + 1) + (b 2 ? 2b + 1)] 2 1 = [(a ? b) 2 + (a ? 1)2 + (b ? 1) 2 ] ≥ 0 2 ∴ a 2 + b 2 ≥ ab + a + b ? 1
            =

            4.证明:Q

            1 1 1 < < k +1 + k 2 k k ?1 + k 1 ∴ 2( k + 1 ? k ) < < 2( k ? k ? 1) k 1 1 1 ∴ 2( n + 1 ? 1) < 1 + + + ... + <2 n 2 3 n

            即 14( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ a 2 ,∴ x + y + z ≥
            2 2 2

            a2 14

            4. 3

            M≥

            5. 12

            1 (a + b + c + a + b + d + a + c + d + b + c + d ) 4 3 = (a + b + c + d ) = 3 ,即 M min = 3 4 lg x lg( x ? y lg y ? z lg z ) ≥ 1 ? lg 2 x + lg 2 y + lg 2 z ≥ 1
            而 lg 2 x + lg 2 y + lg 2 z = (lg x + lg y + lg z ) 2 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x )

            数学选修 4-5
            一、选择题 1.C

            不等式选讲

            [综合训练 B 组]

            = [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) = 1 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) ≥ 1 即 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x ≤ 0 ,而 lg x, lg y , lg z 均不小于 0 得 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x = 0 , 此时 lg x = lg y = 0 ,或 lg y = lg z = 0 ,或 lg z = lg x = 0 , 得 x = y = 1, z = 10 ,或 y = z = 1, x = 10 ,或 x = z = 1, y = 10 x + y + z = 12
            三、解答题 1.解:Q x ? 3 + x ? 4 ≥ ( x ? 3) ? ( x ? 4) = 1

            Q

            2.C 3.B

            a ?c a ?c a ?b +b?c a ?b+b?c b?c a?b + = + = 2+ + ≥4 a?b b?c a ?b b?c a ?b b?c 1 1 4 1 1 n + ≥ ∴ + ≥ ,而 恒成立,得 n ≤ 4 a?b b?c a?c a?b b?c a?c x ?1 ( x ? 1) 2 1 1 1? x 1 y= + = + ≤ ?2 ? = ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

            Q 2 + 2 = 2 2 > 6,∴ 2 > 6 ? 2 ,即 P > R ;
            又Q

            6 + 3 > 7 + 2,∴ 6 ? 2 > 7 ? 3 ,即 R > Q ,所以 P > R > Q
            ( a + b) 2 4

            4.B

            a 2 + ab + b 2 = a + b, (a + b) 2 ? (a + b) = ab ,而 0 < ab <
            所以 0 < (a + b) ? ( a + b) <
            2 2

            ∴ ( x ? 3 + x ? 4 ) min = 1
            当 a ≤ 1 时, x ? 3 + x ? 4 < a 解集显然为 φ , 所以 a > 1 2.证明:Q (12 + 12 + 12 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c ) 2

            ( a + b) 4 ,得 1 < a + b < 4 3 a+b+c a+b+c a+b+c (b + c)(a + c)(a + b) 5.D M =( ? 1)( ? 1)( ? 1) = a b c abc 8 ab bc ac ≥ =8 abc a b 6.A Q a ≠ b,∴ + b > 2 a, + a >2 b b a a b a b ∴ + b+ + a > 2 b + 2 a ,即 + > b+ a b a b a
            二、填空题 1. 3 ? 2 3 2. >

            a 2 + b 2 + c 2 ( a + b + c) 2 ∴ ≥ 3 9 a2 + b2 + c 2 a + b + c ≥ 3 3 n n 1 2 n 1 n ?1 n 3.证明:Q 2 = (1 + 1) = 1 + Cn + Cn + ...Cn ≥ 1 + Cn + Cn + Cn = 2( n + 1)


            ∴ 2n ≥ 2(n + 1) (本题也可以用数学归纳法)
            4.证明:Q a + b = 1 ? c, ab =

            1 1 ≤ 3 ? 2 3x ? = 3 ? 2 3 ,即 ymax = 3 ? 2 3 x x a b b b a 设 log 3 4 = a, log 6 7 = b ,则 3 = 4, 6b = 7 ,得 7 ? 3 = 4 ? 6 = 4 ? 2 ? 3 y = 3 ? 3x ?
            a ?b

            即3

            =

            4 ? 2b 4 ? 2b a ?b ,显然 b > 1, 2b > 2 ,则 3 = >1? a ?b > 0 ? a > b 7 7

            a2 3. 14

            Q (12 + 22 + 32 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + 2 y + 3 z ) 2 = a 2

            ( a + b) 2 ? ( a 2 + b 2 ) = c2 ? c 2 ∴ a, b 是方程 x 2 ? (1 ? c) x + c 2 ? c = 0 的两个不等实根, 1 则 >= (1 ? c ) 2 ? 4(c 2 ? c ) > 0 ,得 ? < c < 1 3 2 而 (c ? a )(c ? b) = c ? ( a + b)c + ab > 0 2 即 c 2 ? (1 ? c )c + c 2 ? c > 0 ,得 c < 0, 或c > 3 1 4 所以 ? < c < 0 ,即 1 < a + b < 3 3
            网]

            数学选修 4-5
            一、选择题 1.A 由 log x y = ?2 得 y =

            不等式选讲

            提高训练 C 组]

            1.证明:Q a, b, c ∈ R ,

            1 , x2 1 x x 1 x x 1 1 3 而 x + y = x + 2 = + + 2 ≥ 33 ? ? 2 = 33 = 3 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2 a b c d 2.B + + + a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b a b c d a+b+c+d > + + + = =1 a+b+c+d b+c+d +a c+d +a+b d +a+b+c a+b+c+d a a c c b b d d 即 S >1, < , < , < , < a+b+c a+c c+d +a a+c b+c+d b+d d +a+b d +b a c c a b d d b 得 + < + =1, + < + =1 a+b+c c+d +a a+c a+c b+c+d d +a+b d +b b+d a b c d 即 + + + < 2 ,得 S < 2 ,所以 1 < S < 2 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b 1 16 x 1 16 y = x+ + 2 3.B = x+ + ≥ 2 16 = 8 x x +1 x x+ 1 x R 为平方平均数,它最大 4.A
            二、填空题

            a b + =1 c c 2 2 2 a b ∴ 0 < < 1, 0 < < 1, a 3 , b 3 , c 3 > 0 c c
            +

            a +b c
            2 3

            2 3

            2 3

            a b a b a+b = ( )3 + ( )3 > + = = 1, ∴ a 3 + b 3 > c 3 c c c c c
            2 2 2 2 2
            [来源:学#科#网]

            2.证明:Q a > b > c > d ,∴ a ? b > 0, b ? c > 0, c ? d > 0

            1 1 1 1 1 1 ∴( + + )(a ? d ) = ( + + )[(a ? b) + (b ? c) + (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b?c c?a 1 1 1 ≥ 33 ? ? × 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) = 9 a?b b?c c?a 1 1 1 9 ∴ + + ≥ a?b b?c c?a a ?d
            3.解:取两组数: a, b, c 与 a 2 , b 2 , c 2 ,显然 a + b + c 是同序和,
            3 3 3

            a 2b + b 2 c + c 2 a 是乱序和,所以 a 3 + b3 + c3 ≥ a 2b + b 2 c + c 2 a
            4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y > 0

            y = 3× x ? 5 + 4 × 6 ? x

            3x 3 1 1 1. [ ?3, 0) y= 2 = ,Q x < 0,∴ x + ≤ ?2, 得 x + + 1 ≤ ?1 x + x +1 x + 1 +1 x x x 1 3 ?1 ≤ < 0 ? ?3 ≤ < 0 ? ?3 ≤ y < 0 1 1 x + +1 x + +1 x x 2 2 2. 3 (1 ? a + 1 ? b + 1 ? c ) ≤ (1 + 12 + 12 )(a + b + c) = 3 3. > 构造单 调函数 f ( x ) = (b + c ) x + bc + 1 ,则 f (1) = (1 + b)(1 + c ) > 0 , f (?1) = (?1 + b)(?1 + c) = (1 ? b)(1 ? c) > 0 ,即 ?1 < x < 1 , f ( x) > 0 恒成立, 所以 f ( a ) = (b + c ) a + bc + 1 > 0 ,即 ab + bc + ca > ?1
            4. 2 ? 2

            ≤ 32 + 42 × ( x ? 5) 2 + ( 6 ? x )2 =5
            5.证明:显然 x + y = 8 ? z , xy =

            ymax = 5

            ( x + y)2 ? ( x2 + y 2 ) = z 2 ? 8 z + 20 2 ∴ x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z ) x + z 2 ? 8 z + 20 = 0 的两个实根, 4 4 4 由 <≥ 0 得 ≤ z ≤ 4 ,同理可得 ≤ y ≤ 4 , ≤ x ≤ 4 3 3 3

            1 1 1 = t (t ≥ 2) ,则 a 2 + 2 = t 2 ,即 a + = t 2 + 2 2 a a a 1 1 t 2 2 ' 再令 y = a + ? a + 2 = t + 2 ? t (t ≥ 2) , y = ?1 < 0 2 a a t +2
            设 a +
            2

            即 t ∈ [ 2, +∞) 时, y 是 t 的减函数,得 t = 5. 2 三、解答题

            2 时, ymax = 2 ? 2

            ( x + y )( y + z ) = xy + y 2 + yz + zx = y ( x + y + z ) + zx ≥ 2 y ( x + y + z ) zx = 2


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