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            北京市丰台区2011—2012学年度高三第一学期期末练习数学文试题


            2011— 学年度第一学期期末 第一学期期末练习 丰台区 2011—2012 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科) 高三数学(文科) 第一部分(选择题
            共 40 分)

            2012.01

            在每小题列出的四个选项中, 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 选择题共 小题, 要求的一项. 要求的一项. 1.设集合 A={x∣x<4},B={x∣x2<4},则 (A) A ? B 2.在复平面内,复数 (A) 第一象限 (B) B ? A (C) A ? ? R B (D) B ? ? R A

            ?1+i 对应的点位于 i
            (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

            1 2 3.已知命题 p: ?x ∈ R , > x ,命题 q : ?x ∈ R , x > 0 ,则 x (A) 命题 p ∨ q 是假命题 (B) 命题 p ∧ q 是真命题
            (C) 命题 p ∨ (?q ) 是假命题 (D) 命题 p ∧ (?q ) 是真命题
            n

            4.预测人口的变化趋势有多种方法, . “直接推算法”使用的公式是 Pn = P0 (1 + k ) ( k > ?1) , 其中 Pn 为预测人口数, 0 为初期人口数, 为预测年内增长率, 为预测期间隔年数. P k n 如 果在某一时期有-1<k<0,那么这期间人口数 (A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 开始 (C) 摆动变化 (D) 不变 5.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 k=1,S=0 (A)

            1 3
            1

            (B)

            2 3

            (C) 1

            (D) 2 S=S+2k

            正俯俯

            侧俯俯

            k=k+2 否

            2

            k≥50
            2 俯俯俯

            是 输出 S 结束

            6.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 650 (B) 1250 (C) 1352 (D) 5000 7.若函数 f ( x ) = log 2 ( x + ) ? a 在区间 (1, 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是

            1 x

            (A) (? log 2

            5 , ?1) 2

            (B) (1, +∞)

            (C) (0, log 2

            5 ) 2

            (D) (1, log 2

            5 ) 2

            8.如图,P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点,设 AP 的长度为 x,若△PBD 的面积为 f(x),则 f(x)的图象大致是
            D1
            y y

            C1 B1 P

            A1

            O

            x

            O

            x

            D A B

            C

            (A)
            y y

            (B)

            O

            x

            O

            x

            (C)

            (D)

            第二部分(非选择题

            共 110 分)

            二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题共 小题, 9.过点(-1,3)且与直线 x-2y+3=0 平行的直线方程为 . 10.已知函数 f ( x) = ?

            ?log 2 x, ( x > 0), ?2 ,
            x

            ( x ≤ 0).

            若 f (a ) =

            1 ,则 a= . 2

            11.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如图所示,则数据在区间 [8,10) 上的频数是 . 12.若向量 a , b 满足 a = . 等于___. 13.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若 S1,2S2,3S3 成等差数列,则公比 q . 等于 .

            2 , b = 2 , (a ? b) ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角

            14 . 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 为 f '( x ) , 若 对 于 定 义 域 内 任 意 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) , 有

            f ( x1 ) ? f ( x2 ) x +x = f '( 1 2 ) 恒成立,则称 f ( x) 为恒均变函数.给出下列函数:① 2 x1 ? x2 f ( x)=2 x + 3 ;② f ( x) = x 2 ? 2 x + 3 ;③ f ( x)=
            1 x ;④ f ( x )=e ;⑤ f ( x )= ln x .其 x

            中为恒均变函数的序号是 . (写出所有满足条件的函数序号) ..

            解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答题共 小题, 15.(本小题共 13 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2 cos
            2

            x ? 3 sin x . 2

            (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 α 为第二象限角,且 f (α ?

            π

            1 cos 2α ) = ,求 的值. 3 3 1 ? tan α

            16.(本小题共 14 分) ( 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC,M,N 分别是 CC1,AB 的中点. (Ⅰ)求证:CN⊥AB1; C1 (Ⅱ)求证:CN //平面 AB1M.
            A1 M

            B1

            C N A

            B

            17.(本小题共 13 分) ( 为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽 取 6 个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有 12,6,18 个教学班. (Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数; (Ⅱ)若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个教学班中 至少有 1 个来自甲学校的概率.

            18.(本小题共 13 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 = 0 相 切. (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)直线 l : y = kx + 3 与圆 O 交于 A , B 两点,在圆 O 上是否存在一点 M ,使得 四边形 OAMB 为菱形,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.

            19.(本小题共 14 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2ax +

            b + ln x . x
            1 处取得极值,求 a , b 的值; 2

            (Ⅰ)若函数 f (x ) 在 x = 1 , x =

            (Ⅱ)若 f ′(1) = 2 ,函数 f ( x ) 在 (0,+∞) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

            20.(本小题共 13 分) ( 函数 f ( x ) 的定义域为 R,数列 {an } 满足 an =f ( an ?1 ) ( n ∈ N 且 n ≥ 2 ) .
            *

            (Ⅰ)若数列 {an } 是等差数列, a1 ≠ a2 ,且 f ( an ) ? f ( an ?1 ) = k ( an ? an ?1 ) (k 为非零常 数, n ∈ N 且 n ≥ 2 ),求 k 的值;
            *

            (Ⅱ)若 f ( x ) = kx ( k > 1) , a1 = 2 , bn = ln an ( n ∈ N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,
            *

            对于给定的正整数 m ,如果

            S( m +1) n S mn

            的值与 n 无关,求 k 的值.

            (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

            学年度第一学期期末 第一学期期末练习 丰台区 2011—2012 学年度第一学期期末练习 2012.01 — . 高三数学(文科)答案及评分参考 高三数学(文科) 数学
            小题, 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1 2 3 4 题号 答案 B A D 10. ?1 或 2 13. B 小题, 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. x ? 2 y + 7 = 0 12. 11.30 14. ①② 5 C 6 B 7 D 8 A

            π
            4

            1 3

            注:第 10,14 题只写出一个答案给 2 分。 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题共 13 分) (

            已知函数 f ( x ) = 2 cos

            2

            x ? 3 sin x . 2

            (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 α 为第二象限角,且 f (α ? 解 : (

            π

            1 cos 2α ) = ,求 的值. 3 3 1 ? tan α
            Ⅰ ) 因 为 ……………………1 分

            f ( x) = 1 + cos x ? 3 sin x

            = 1 + 2 cos( x + ) , 3
            所 以 函 数

            π

            ……………………3 分

            f ( x)











            ,







            [?1,3] .
            (Ⅱ)因为 f (α ? 所

            ……………………5 分

            π

            1 )= , 3 3 1 + 2 cos α = 1 3
            , 即



            1 cos α = ? . 3


            ……………………6 分 为 ……………………8 分

            cos 2α cos 2 α ? sin 2 α = cos α ? sin α 1 ? tan α cos α = cos α (cos α + sin α ) = cos 2 α + cos α sin α ,
            …………10 分 因 为

            …………

            α













            ,





            sin α =

            2 2 . 3


            ……………………11 分 以 ……………………13 分

            cos 2α 1 2 2 1? 2 2 = ? = . 1 ? tan α 9 9 9
            16.(本小题共 14 分) (

            如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC,M,N 分别是 CC1,AB 的中点. (Ⅰ)求证:CN⊥AB1; C1 (Ⅱ)求证:CN //平面 AB1M. 证明: (Ⅰ)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥底面 ABC, A1 所以 BB1⊥平面 ABC, 所以 BB1⊥CN.…………………1 分 M 因为 AC=BC,N 是 AB 的中点, 所以 CN⊥AB. ……………………3 分 因为 AB∩BB1=B, ……………………4 分 C 所以 CN⊥平面 AB B1A1. ……………………5 分 A 所以 CN⊥AB1. ……………………6 分 ……………………7 分 (Ⅱ) (方法一)连结 A1B 交 AB1 于 P. C1 因为三棱柱 ABC-A1B1C1, 所以 P 是 A1B 的中点. A1 因为 M,N 分别是 CC1,AB 的中点, M 所以 NP // CM,且 NP = CM, ……………………9 分 所以四边形 MCNP 是平行四边形, ……………………10 分 所以 CN//MP. ……………………11 分 C 因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, ………………12 分 ……………………14 分 所以 CN //平面 AB1M. A (方法二)取 BB1 中点 P,连结 NP,CP. ……………………7 分 因为 N,P 分别是 AB,BB1 的中点, C1 所以 NP //AB1. A1 因为 NP ? 平面 AB1M,AB1 ? 平面 AB1M, ……………………10 分 M 所以 NP //平面 AB1M. 同理 CP //平面 AB1M. ……………………11 分 因为 CP∩NP =P, C 所以平面 CNP //平面 AB1M. ……………………13 分 因为 CN ? 平面 CNP, A ……………………14 分 所以 CN //平面 AB1M. 17.(本小题共 13 分) ( 为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽 取 6 个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有 12,6,18 个教学班. (Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数; (Ⅱ)若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个教学班中 至少有 1 个来自甲学校的概率. 解 :( Ⅰ ) 由 已 知 可 知 在 甲 、 乙 、 丙 三 所 中 学 共 有 教 学 班 的 比 是 12:6:18=2:1:3, ……………………1 分 所以甲学校抽取教学班数为 6 × 校抽取教学班数

            B1

            B N

            B1

            P

            B N

            B1

            P

            B N

            2 1 =2 个,乙学校抽取教学班数为 6 × =1 个,丙学 6 6

            为 个, 所 3. 以 分 别 抽 取 的 教 学 班 个 ……………………5 分

            3 6 × =3 6
            ……………………4 分 数 为 2 , 1 ,

            (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,从甲、 乙、丙三所中学分别抽取 2,1, 个教学班,不妨分别记为 A1 , 3

            A2 , B1 , C1 , C2 , C3 ,则从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班的基本事件为: ( A1 , A2 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , C1 ) ,( A1 , C2 ) ,( A1 , C3 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , C1 ) ,( A2 , C2 ) , ( A2 , C3 ) , ( B1 , C1 ) , ( B1 , C2 ) , ( B1 , C3 ) , (C1 , C2 ) , (C1 , C3 ) , (C2 , C3 ) 共 15
            个. ……………………7 分

            设“从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班,至少有 1 个来自甲学校”为事件 D , …………8 分 则事件 D 包含的基本事件为: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , C1 ) , ( A1 , C2 ) , ( A1 , C3 ) ,

            ( A2 , B1 )
            个. 所

            ,

            ( A2 , C1 )

            ,

            ( A2 , C2 )

            ,

            ( A2 , C3 )



            9

            ……………………10 分 以

            P( D) =

            9 3 = . 15 5

            ………………

            ……12 分 所以从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个,且这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学 校的概率为

            3 . 5
            …………

            …………13 分 18.(本小题共 13 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, 为坐标原点, O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 = 0 相切. O 以 (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)直线 l : y = kx + 3 与圆 O 交于 A , B 两点,在圆 O 上是否存在一点 M ,使得四 边形 OAMB 为菱形,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)设圆 O 的半径为 r ,因为直线 x ? 3 y ? 4 = 0 与圆 O 相切, 所 以

            r=

            | 0? 3×0? 4 | = 2. 1+ 3
            所 以 圆

            ……………………3 分

            O









            x2 + y 2 = 4 .

            ……………………5 分

            (Ⅱ) (方法一)因为直线 l : y = kx + 3 与圆 O 相交于 A , B 两点,





            d O ?l =

            | 3| 1+ k 2

            <2

            ,





            k>

            5 2



            k<?

            5 . 2
            假 设 存 在 点 与

            ……………………7 分

            形, 则 分, 所 以 原 点

            OM

            M , 使 得 四 边 形 OAMB 为 ……………………8 分 AB 互 相 垂 直 且 ……………………9 分
            到 直 线

            菱 平

            O

            l

            :

            y = kx + 3









            d=

            1 | OM |= 1 . 2
            所 以

            ……………………10 分

            d O ?l =

            |3| 1+ k 2

            =1

            ,





            k2 = 8,
            即 件. 所 形. 以 存 在

            ……………………11 分

            k = ±2 2

            ,













            ……………………12 分 点 M , 使 得 四 边 形 ……………………13 分

            OAMB





            (方法二)记 OM 与 AB 交于点 C ( x0 , y0 ) . 因 为 直 线 l 斜 率 为 k , 显 然 k ≠ 0 , 所 以 OM 直 线 方 程 为

            1 y =? x. k

            ……………………7 分

            ? y = kx + 3 ? , 1 ? y=? x ? k ?
            M(

            ?3k ? ? x0 = k 2 + 1 ? 解 得 ? , 3 ?y = ? 0 k 2 +1 ?

            所 以 点 M

            坐 标 为

            ?6 k 6 , 2 ) , ………………9 分 2 k +1 k +1
            因 为 点

            M

            在 圆 上 , 所 以 (

            ?6 k 2 ) + k 2 +1

            (

            6 2 ) =4 , 解 得 k +1
            2

            k2 = 8,
            即 件.

            ……………………11 分

            k = ±2 2

            ,













            所 以 存 在 形. 19.(本小题共 14 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2ax +

            ……………………12 分 , 使 得 四 边 形 点 M ……………………13 分

            OAMB





            b + ln x . x 1 处取得极值,求 a , b 的值; 2

            (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x = 1 , x =

            (Ⅱ)若 f ′(1) = 2 ,函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上是单调函数,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)

            f ′( x) = 2a ?
            2分 由

            b 1 + , x2 x

            ……………………

            ? f ′(1) = 0 ? , ? 1 ? f ′( 2 ) = 0 ?
            4分 可得

            ……………………

            1 ? ?a = ? 3 ? . ? ?b = 1 ? 3 ?
            ( Ⅱ ) 函 数

            ……………………6 分

            f (x)











            (0,+∞) ,
            因 为

            ……………………7 分

            f ′(1) = 2

            ,





            b = 2a ? 1 .
            所以

            ……………………8 分

            f ′( x) =


            2ax 2 + x ? (2a ? 1) ( x + 1)[2ax ? (2a ? 1)] , = x2 x2

            ……………………9

            要使 f (x) 在 (0,+∞) 上是单调函数,只要 f ′( x) ≥ 0 或 f ′( x) ≤ 0 在 (0,+∞) 上恒成 立. ………… …………10 分 当 a = 0 时, f ′( x ) = 数; ………………11 分 当 a < 0 时,令 f ′( x ) = 0 ,得 x1 = ?1 , x 2 = 此时 f (x ) 在 (0,+∞) 上不是单调函 数; ……………………12 分 当 a > 0 时,要使 f (x ) 在 (0,+∞) 上是单调函数,只要 1 ? 2 a ≥ 0 ,即

            x +1 > 0 恒成立,所以 f (x) 在 (0,+∞) 上是单调函 x2 2a ? 1 1 = 1? > 1, 2a 2a

            0< a≤

            1 .…………13 分 2
            ……………………14 分

            综上所述, a 的取值范围是

            1 a ∈ [0, ] . 2
            20.(本小题共 13 分) (

            函数 f ( x ) 的定义域为 R,数列 {an } 满足 an =f ( an ?1 ) ( n ∈ N 且 n ≥ 2 ) .
            *

            (Ⅰ)若数列 {an } 成等差, a1 ≠ a2 ,且 f ( an ) ? f ( an ?1 ) = k ( an ? an ?1 ) (k 为非零常数,

            n ∈ N * 且 n ≥ 2 ),求 k 的值;
            (Ⅱ)若 f ( x ) = kx ( k > 1) , a1 = 2 , bn = ln an ( n ∈ N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,
            *

            对于给定的正整数 m ,如果 解: (Ⅰ)当 n ≥ 2 时,

            S( m +1) n S mn

            的值与 n 无关,求 k 的值.

            因为 an = f ( an ?1 ) , f ( an ) ? f ( an ?1 ) = k ( an ? an ?1 ) , 所以 an +1 ? an = f ( a n ) ? f ( an ?1 ) = k ( an ? an ?1 ) . 因为数列 {an } 是等差数列,所以 an +1 ? an = an ? an ?1 . 因 为

            an +1 ? an = k (an ? an ?1 )
            ……………………6 分

            ,





            k = 1.

            (Ⅱ)因为 f ( x ) = kx ( k > 1) , a1 = 2 ,且 an +1 = f ( an ) , 所以 an +1 = kan . 所以数列 {an } 是首项为 2,公比为 k 的等比数列, 所以 an = 2k
            n ?1



            所以 bn = ln an = ln 2 + ( n ? 1) ln k . 因为 bn ? bn ?1 = ln k , 所以 {bn } 是首项为 ln 2 ,公差为 ln k 的等差数列. 所以 Sn = 因

            (b1 + bn )n (n ? 1) = n[ln 2 + ln k ] . 2 2


            S( m +1) n S mn

            =

            (m + 1)n{ln 2 +

            [(m + 1)n ? 1] ln k} (m + 1)[(m + 1)n ln k + 2 ln 2 ? ln k ] 2 = , (mn ? 1) m[mn ln k + 2 ln 2 ? ln k ] mn[ln 2 + ln k ] 2 S( m +1) n S mn
            的值是一个与 n 无关的量,

            又因为

            所以

            2 ln 2 ? ln k 2 ln 2 ? ln k = , mn ln k (m + 1)n ln k



            得 ……………………13

            k = 4.


            (若用其他方法解题,请酌情给分) 若用其他方法解题,请酌情给分) 解题


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