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            数学与应用数学毕业论文


            太原师范学院
            毕业论文(设计)
            等价无穷小量性质的理解、推广及应用

            姓 学 年 专 系

            名 号 级 业 (院)

            吴艳芳 ************ 2012 级 数学与应用数学 理学院 ******

            指导教师

            2014 年 3 月 13 日

            太原师范学院 2012 届本科毕业论文(设计)





            等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在 正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作 用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性 质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小量. 关键词:等价无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性

            I

            太原师范学院 2012 届本科毕业论文(设计)

            ABSTRACT
            Equivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by L'Hospital Rule. This paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can be simply and avoid error in application. Keywords: superiority. equivalent infinitesimal; limitation; l'hospital's rule; comparison test;

            II

            太原师范学院 2012 届本科毕业论文(设计)





            1 引言.........................................................1 2 等价无穷小量的概念及其重要性质 ...............................1
            2.1 等价无穷小量的概念 ..................................................................................................... 1 2.2 等价无穷小量的重要性质 ............................................................................................. 2 2.3 等价无穷小量性质的推广 ............................................................................................. 2

            3 等价无穷小量的应用 ...........................................5
            3.1 求函数的极限 ................................................................................................................. 5 3.2 等价无穷小量在近似计算中的应用 ............................................................................. 6 3.3 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 ................................................................. 6 3.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 ..................................................................... 7

            4 等价无穷小量的优势 ...........................................8
            4. 1 运用等价无穷小量求函数极限的优势…………………………………………....................8 4. 2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势………………………………………...............9

            5 结 论 .......................................................12 参 考 文 献 ...................................................13 致 谢 ........................................................14

            III

            太原师范学院 2012 届本科毕业论文(设计)

            1 引言
            等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷 小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断 广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握 并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之, 则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行 深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.

            2 等价无穷小量的概念及其重要性质
            这部分在同济大学应用数学系主编的?高等数学?、华东师范大学数学系的?数学分 析?、马振明老师和吕克噗老师的?微分习题类型分析?、张云霞老师的?高等数学教学? 以及 Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods [J]. Journal of Computer Research and Development 中做了详细的讲解,下面是我对 这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我 对其进行了证明.

            2.1 等价无穷小量的概念

            2.11 定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过
            程中的无穷小量. 如函数 x 2 , sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x→0 时的无穷小量.对于 数列只有一种情形, 即n→∞, 如数列{ 注意: 1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限 趋近于0 而又不等于0. 2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数
            1 当x ?∞时的无穷小量,但当x ?1时不是无穷小量. x 1 } 为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列. n

            3)两个(相同类型)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 4)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.

            2.12 无穷小量的比较

            1

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            1) 若存在正数K和L,使得在某 U o ( x0 ) 上有 K ? 同阶无穷小量.特别当 lim
            x ? x0

            f ( x) ? L ,则称 f 与 g 为当 x ? x0 时的 g ( x)

            f ( x) ? c(c ? 0) 则称 f ( x) 与 g ( x) 是同阶无穷小. g ( x)

            2) 若 lim 3) 若 lim

            f ( x) =1, 则称 f ( x) 与 g ( x) 是等价无穷小量, 记为 f ( x) ~ g ( x) . g ( x) f ( x) = 0, 则称 f ( x) 是 g ( x) 高阶无穷小, 记作 f ( x) = o( g ( x)) . g ( x)

            1 注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x→0 时, x sin 与 x 2 都是无穷小量, 但它 x

            们不能进行阶的比较.

            2.2 等价无穷小量的重要性质
            设 α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小,

            ① 若 α~α′,β~β′, 且 lim

            ?

            '

            ?'

            存在,则

            ? ? ? ? ? ? ?? ? lim =lim ? ( lim ? lim( . 1 1 ) ? lim .lim 1 .lim 1 ? lim 1 ) ? ? ?1 ?1? ?1 ?1 ? ?1 ?'
            '



            若 α~β,β~γ,则 α~γ.

            性质①表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质②表明等价无穷小量的传递性.

            2.3 等价无穷小量性质的推广

            ?1? α~α′,β~β′,
            证明 因为

            且 lim

            ? =c(≠-1),则 α+β~α′+β′. ?

            ? 1 ? 1? ? ?? lim = lim ? ' ?? ' ? lim ? ' ( ? ) 1 ?' 1 ?' ? '? ? ' ? 1? ? ?? ' ? ?'
            1 ?
            ? lim 1? c 1?

            ?' ?'

            ? lim 1?

            ? ? ?' . . ?' ? ?

            1? c

            2

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            ? lim

            1? c ?1 1? c

            所以 α+β~α′+β′. 而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim α′,β~β′,则有 α+β~α′+β′

            ? =c(≠-1)”这个条件,千篇一律认为“α~ ?

            ? 2?

            1

            在同一变化过程中, f ( x) ~ ? ( x) , g ( x) ~ ? ( x) ,且 lim(1 ? ? ( x))
            1 1

            ? ( x)

            存在,则

            lim(1 ? f ( x)) g ( x ) = lim(1 ? ? ( x))? ( x ) .
            证明 因为

            lim(1 ? f ( x))

            1 g ( x)

            ? exp(lim
            = exp(lim = exp(lim

            ln(1 ? f ( x)) ) g ( x)
            ln(1 ? f ( x))? ( x) 1 ln(1 ? ? ( x)) ln(1 ? ? ( x)) g ( x) ? ( x) ln(1 ? ? ( x)) ) ? ( x)
            1

            = lim(1 ? ? ( x)) 故结论得证.

            ? ( x)

            .

            ? 3? 若 α~α′,β~β′,

            且 lim

            A? '? B? ' A? '? B? ' A? ? B? ′存在,则当 ≠0 且 lim 存在,有 C? '? D? ' C? '? D? ' C? ? D?

            lim 证明 因为

            A? ? B? A? '? B? ' =lim ′. C? '? D? ' C? ? D?

            A? A? ?1 ?1 A? ? B ? ? B? B? ? ? , A? '? B ? ' A? ' ? ? ' ? ' A? ' ? 1 B? ? B? '

            又 α~α′,β~β′,于是,
            lim A? A? ' A? ' A? ? lim ? ?1 , lim( ? 1) ? lim( ? 1) ? 0 , B? B? ' B? ' B?

            从而

            3

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            A? ? B ? =1, A? '? B ? '


            A? ? B? ~ A? '? B? '

            同理可证
            C? ? D? ~ C? '? D? ' .

            故命题得证.

            ? 4?

            设在自变量的某一变化过程中, f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 及 f1 ( x) 、 g1 ( x) 、 h1 ( x) 都是无
            f1 ( x) f ( x) 存在且 lim 1 ? ?1,则有 g1 ( x) g1 ( x)

            穷小量. ①若 f ( x) ~ f1 ( x) 、 g ( x) ~ g1 ( x) 、且 lim

            ( f ? g ) ~ ( f1 ? g1 ) .

            ②若 f ( x) ~ f1 ( x) 、 g ( x) ~ g1 ( x) 、且 lim

            f1 ( x) f ( x) 存在且 lim 1 ? 1 ,则有 g1 ( x) g1 ( x)

            ( f ? g ) ~ ( f1 ? g1 ) .

            ③若 f ( x) ~ f1 ( x) 、 g ( x) ~ g1 ( x) 、 h( x) ~ h1 ( x) 且 lim

            f1 ( x) f ( x) 存在且 lim 1 ? ?1,则有 g1 ( x) g1 ( x)

            lim
            证明 ①因为

            f ? g f1 ? g1 . ? h h1

            1 ? f1 f ?g = lim lim 1 f1 ? g1 ? f

            g ff1 = lim g1 ff1

            1 g (1 ? ) f1 f . g 1 (1 ? 1 ) f f1

            又因为
            lim f f ? lim 1 ? ?1, g g1

            故上式等于 1.

            ②因为

            4

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            1 ? f1 f ?g = lim lim 1 f1 ? g1 ? f

            g ff1 = lim g1 ff1

            1 g (1 ? ) f1 f . g1 1 (1 ? ) f f1

            又因为
            lim f f ? lim 1 ? 1 , g g1

            故上式等于 1. ③要证 lim
            f ? g f1 ? g1 f ? g h1 成立,只需证 lim ? ? 1 ,因为 h h1 h f1 ? g1
            f ? g ~ f1 ? g1 , h( x) ~ h1 ( x) ,

            所以结论得证. 性质(1)、(3)的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化 了计算.但要注意条件“lim

            ? A? '? B? ' =c(≠-1)”,“ ≠0”的使用. ? C? '? D? '

            注意 1)需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某 一项做替换,和差的替换是不行的. 2) 以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差 的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数 极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.

            3等价无穷小量的应用
            等价无穷小量的应用在冯录祥老师的?关于等价无穷小量量代换的一个注记?、王斌 老师的?用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨?、华东师范大学数学系的?数学分 析?、盛祥耀老师的?高等数学?、马振明老师和吕克噗老师的?微分习题类型分析?、 Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的?数学分析讲义?中都有详细的分析 与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例 题写出来的.请看下面的内容:

            3.1求函数的极限
            在求极限中经常用到的等价无穷小量有 x ~ sin x ~ arcsin x ~ tan x ~ arc tan x ~
            ln(1 ? x) ~ e x -1,
            1 ? cos x ~

            1 2 , a x ? 1 ~ x ln a ,( x →0). 2x
            5

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            例 1 求 lim 解

            tan 2 2 x . x ? 0 1 ? cos x
            1 2 , tan 2 x ~ 2x . 2x

            当 x →0 时, 1 ? cos x ~
            4x 1 2
            2

            原式= lim
            x ?0

            x2

            = 8 .. 例 2 求 lim
            x ?0

            tan x ? sin x . x3

            解 原式= lim

            sin x ?1 ? cos x ? x ?0 x3 cos x

            1 x ? x2 1 = lim 3 2 (∵ sin x ~ x , 1 ? cos x ~ x 2 ) x ?0 x ? cos x 2
            =
            1 . 2

            此题也可用洛必达法则做,但不能用性质②做. 所以, lim
            x ?0

            x?x tan x ? sin x = lim 3 =0,不满足性质②的条件,否则得出错误结论 0. 3 x?0 x x

            3.2 等价无穷小量在近似计算中的应用
            利用等价无穷小,在做近似计算,有时可以起到意想不到的效果, 如:
            6

            例3 解



            65 的近似值 64

            因为 x ? 0 时,
            n

            1? x ? 1?

            x . n

            所以
            6

            65 ? 64

            6

            1?

            1 ? 2.005208 . 64

            6



            65 的准确值,保留小数点后6位可得为2.005175 64

            相对误差为(2.005208 ? 2.005175) / 2.005175 ? 0.000016这说明计算精度已经很高

            6

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            3.3 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限
            1 2 x ? 1 ? x2 2 例 4 求极限 lim 2 x ?0 (cos x ? e x ) sin 2 x 1?

            解 由于函数的分母中 sin 2 x ~ x 2 ( x ? 0),因此只需将函数分子中的 1 ? x2 与分母 中的 cosx 和 e x 分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即:
            1 ? x2 ? 1 ? 1 2 1 4 x ? x ? o( x 4 ) , 2 8
            1 2 x ? o( x 2) , 2
            2

            cos x ? 1 ?
            2

            ex ? 1 ? x2 ? o( x2 ) .
            所以

            1 4 1 4 1 2 x ? o( x 4 ) x ? o( x 4 ) x ? 1 ? x2 1 2 8 8 ?? . lim ? lim ? lim 2 x2 2 x ?0 x ?0 x ? 0 3 12 3 o( x ) (cos x ? e ) sin x ? x 4 ? o( x 4 ) 1? x2 ? 2 2 2 x
            1?

            例 5 由拉格朗日中值定理,对任意的 x >-1,存在 ? ? (0,1) ,使得
            ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? 0) ? x 1 .证明 lim ? ( x) ? . x ?0 1? ? x 2




            ln(1 ? x) ? x ? x2 ? o( x 2 ), 2

            1 ? 1 ? ? x ? o( x ) , 1? ? x

            所以,根据题设所给条件有
            x? x2 o( x ) ? o( x 2 ) ? 1 ? ? x ? 2 x



            ? x2 ?
            所以,

            x2 ? o( x 2 ) , 2

            1 o( x 2 ) 1 lim ? ( x) ? lim ? 2 ? . x ?0 x ?0 2 x 2

            7

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            以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能 更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用.

            3.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用
            在正项级数的审敛判别法中,用得比较多的是比较审敛法的极限形式,它也是无穷小 的一个应用.比较审敛法的极限形式:设 ? u n 和 ? vn 都是正项级数,
            n ?1 n ?1 ? ?

            ① 如果 lim ② 如果 lim

            ? ? un =l(0≤l<+∞) ,且级数 ? vn 收敛,则级数 ? u n 收敛. n ?? v n ?1 n ?1 n

            ? ? un u =l>0 或 l lim n =+∞,且级数 ? vn 发散,则级数 ? u n 发散. n ?? v n ?? v n ?1 n ?1 n n

            当①=1 时,∑ un ,∑ vn 就是等价无穷小量.由比较审敛法的极限形式知,∑ un 与∑ vn 同敛 散性,只要已知∑un,∑ vn 中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性.
            ? 1 ? ? 例 6 判定? ?sec( ) ? 1?的敛散性 n ? n ?1 ?

            1 1 sec( ) ? 1 2 1 1 1 1 n 解 lim ? lim 2n ? (n ??, ? 0, 此时 sec( ) ? 1 ? 2 ) . n ?? n ?? 1 1 n n 2n 2 2 2 n n
            又?
            ? 1 1 ? ? , 所以 , 收敛 sec( ) ? 1? 收敛. ? 2 ? n ? n ?1 ? n ?1 n ?

            例 7 研究 ?

            1 的敛散性 n ?1 ln(1 ? n)

            ?

            1 n ln(1 ? n) 解 ∵ lim = lim =1 n ?? ln(1 ? n) n ?? 1 n
            1 而∑ 发散, n

            ∴?

            1 发散. n ?1 ln(1 ? n)

            ?

            从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用.在 很多题目中,我们需要综合运用罗比达法则、 等价无穷小量的性质、 泰勒级数等相关知识, 才能达到简化运算的目的.

            8

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            4 等价无穷小量的优势
            这一部分的内容是我在听了郑老师和郭老师的数学分析课以后,由于他们教学方法 的鲜明对比而深受启发,在他们讲解数学分析其他部分的比较与分析时,我也希望自己能 找到一个他们没有整理过的知识点经过自己的努力完成对它的比较与分析,因此我选择 了这一部分内容.请看下面的内容:

            4.1 运用等价无穷小量求函数极限的优势
            例8 解 求 lim
            ln(1 ? 3 x) x ?0 sin 3 x

            解法一(等价无穷小量替换):

            由于ln(1+3x)等价于3x,sin3x等价于 3x,则 , 由 无 穷 小 替 换 定 理 有 :
            lim ln(1 ? 3 x) 3x ? 1. = lim x ?0 x ?0 3 x sin 3 x

            解法二(两个重要极限):由于
            lim ln(1 ? 3x) 3 x ? 1, lim
            x ?0 1

            sin 3x ?1, x ?0 3x

            所以有

            ln(1 ? 3x) 1 3x ln(1 ? 3 x) ln(1 ? 3 x ) 3x lim = lim ? lim ?1. x ?0 x ?0 x ?0 sin 3x sin 3x sin 3 x 3x 3x
            解法三(洛必达法则):
            3 1 ln(1 ? 3 x) ? 1. lim = lim 1 ? 3 x ? lim x ? 0 x ? 0 x ?0 3cos 3 x cos 3 x(1 ? 3 x) sin 3 x

            由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样.其中包括极限的运算法 则、两个重要极限、洛必达法则以及无穷小替换等等.所以我们求解一道题时要进行全 方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法.对上例的几种不同解法进行比较, 我们很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限. 例9 求 lim

            ln(1 ? 2 x) x ??? ln(1 ? 3x )

            解法一(等价无穷小量替换):由于当x→-∞ 时,有

            2x ? 0,3x ? 0 , ln(1 ? 2x )等价于2x ,ln(1 ? 3x )等价于3x ,则由无穷小替换定理有

            9

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            2x ln(1 ? 2 x) lim ? ? ?. : = x ??? 3x x ??? ln(1 ? 3x )

            lim

            解法二(洛必达法则):
            2 x ln 2 1 ? 3x x x ln 2 ln(1 ? 2 ) lim 1 ? 2x ? ? ? . = lim 1x? 2 ? lim x x ??? 3 ln 3 x ??? ln(1 ? 3 ) ln 3 x ??? ? 3 ? x ? ? 1? 3 ?2?
            x

            我们知道通常碰到求解未定式极限的问题时,大家总是习惯使用洛必达法则.但是 由此例看求解上述极限时,很显然利用等价无穷小量替换更简单、便捷.另外,值得注意 的是对本例在使用洛必达法则计算时,如果不把
            2x 写到分母上,而是继续使用洛必达法 3x

            则,就会出现循环计算,将永远得不到结果.由此更能体现等价无穷小量替换的重要性. 同时本例还说明不仅是在极限存在时而且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷 小量替换.

            4.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势
            lim(
            x ?0

            1 1 x 2 ? sin 2 x ? ) 上式可化为 lim , 如果直接使用洛比达法则,而 x ?0 x 2 sin 2 x sin 2 x x 2

            不用“等价无穷小替换”,那么在四次使用洛比达法则的过程中,分母上的求导运算

            将越来越复杂.若对上式中分母上的无穷小量 sin x 用等价无穷小量 x 来替换,便可将上 式化为较为简单的式子 lim
            x 2 ? sin 2 x ,虽然让使用洛比达法则,但是其运算过程就变的 x ?0 x4

            很简单了.请看下面的例题: 例 10 lim ?
            x ?0

            tan(sin x) sin(tan x)



            sec2 (sin x) cos x 原式= lim 2 x ?0? cos(tan x)sec x
            = lim ?
            x ?0

            (用罗比塔法则)

            sin(tan x) (分离非零极限乘积因子并算出非零极限) tan(sin x)

            cos(tan x)sec2 x = lim (用罗比塔法则) 2 x ?0? sec (sin x) cos x
            = lim ?
            x ?0

            tan(sin x) . sin(tan x)

            出现循环,此时用罗比塔法则求不出结果.怎么办?用等价无穷小量代换.
            10

            太原师范学院 2012 届本科毕业论文(设计)

            因为 x~sinx~tanx(x→0) 所以,原式= lim?
            x ?0

            x =1 而得解. x

            例 11 求 lim(
            x?0

            1 ? cot 2 x) 2 x ? lim
            x ?0



            原式= lim
            ? lim

            tan 2 x ? x 2 x ?0 x 2 tan 2 x

            (tan x ? x)(tan x ? x) x4

            2 x(tan x ? x) 2(tan x ? x) ? lim 4 x ?0 x ?0 x x3

            ? lim
            ?

            2(sec2 x ? 1) 2 tan 2 x ? lim x ?0 3x 2 3 x ?0 x 2
            2 (∵ tan x ~ x ). 3 2(sec x tan x ? x) tan 2 x ? x 2 = lim 继续运用 2 2 x ? 0 2 x tan 2 x ? 2 x 2 tan x sec 2 x x ?0 x tan x

            若使用洛必达法则可知原式= lim

            洛必达法则会将上式越变越复杂,难于求出最后的结果.而通过运用无穷小的等价替换,将 分母 x 2 tan 2 x 替换成 x 4 ,又将分子分解因式后进行等价替换,从而很快地求出正确结果,由 此可以看出单单运用洛必达法则有时并不能达到较好的效果,适时地运用等价替换可以 简化替换. 通过上面的两个例子可看到洛必达法则并不是万能的,也不一定是最佳的,它的使用 具有局限性,只要充分地掌握好等价无穷小量的 4 条性质就不难求出正确的结论.

            11

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            结 论

            极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容,等价无穷小量代换又是极限运算中 的一个重要的方法.利用等价无穷小量代换计算极限,主要是指在求解有关无穷小的极 限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法,通常与 洛必达法则一起使用,目的是使解题步骤简化,减少运算错误.进行等价无穷小量代换的 原则是整体代换或对其中的因子进行代换.即在等价无穷小量的代换中,可以分子分母 同时进行代换,也可以只对分子(或分母)进行代换.当分子或分母为和式时,通常不能 将和式中的某一项以等价无穷小量替换,而应将和式作为一个整体、 一个因子进行代换, 即必须是整体代换;当分子或分母为几个因子相乘积时,则可以只对其中某些因子进行 等价无穷小量代换.简言之,只有因子才可以进行等价无穷小量替换.

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            参 考 文 献
            [ 1 ]同济大学应用数学系,主编.高等数学.第 5 版[M].高等教育出版社,2002,7 56~59. [ 2 ]杨文泰,等.价无穷小量代换定理的推广[J].甘肃高师学报,2005,10(2) :11~13. [ 3 ] 王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨[J].黔西南民族师专学报,2001. [ 4 ] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [ 5 ] 盛祥耀. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987. [ 6 ] 冯录祥. 关于等价无穷小量量代换的一个注记[J]. 伊犁师范学院学报, 2006( 3) : 2526. [ 7 ] 段丽凌,杨贺菊. 关于等价无穷小量替换的几点推广.[ J ]. 河北自学考试, 2007, (06). [ 8 ] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[ M] .(第三版)北京:高等教育出版 社,2004.62. [ 9 ] 马振明,吕克噗.微分习题类型分析[ M ] .兰州:兰州大学出版社,1999.59,45-65. [10] 崔克俭,应用数学[ M ],北京:中国农业出版社,2004. [11] 张云霞. 高等数学教学[J]. 山西财政税务专科学校学报 , 2001.04. [12] 任治奇 , 梅胤胜.数学分析[M]. 渝西学院学报(社会科学版) , 1998.02 [13] 刘玉琏 傅沛仁:数学分析讲义[M].北京:人民教育出版社,2000. [14] Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods [J]. Journal of Computer Research and Development , 2001, 38(1): 121- 125. [15] Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n], 1995: 9- 17. [16] Shivakumar N, G.Molina H. Building a Scalable and Accurate Copy Detection Mechanism [A]. The 1st ACM Conference on Digital Libraries[C]. USA Bethesada Maryland: [s. n], 1996: 34- 41.

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            致 谢
            走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本 次论文的完成,将要划下完美的句号. 本论文设计在王广兰老师的悉心指导和严格要求下业已完成,从课题选择到具体的 写作过程,论文初稿与定稿无不凝聚着王广兰老师的心血和汗水,在我的毕业设计期间, 王广兰老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,王老师一丝不 苟的作风,严谨求实的态度使我深受感动,没有这样的帮助和关怀和熏陶,我不会这么顺 利的完成毕业设计.在此向王广兰老师表示深深的感谢和崇高的敬意! 在临近毕业之际,我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师 表示由衷的谢意,感谢他们四年来的辛勤栽培.不积跬步何以至千里,各位任课老师认真 负责,在他们的悉心帮助和支持下,我能够很好的掌握和运用专业知识,并在设计中得以 体现,顺利完成毕业论文. 同时,在论文写作过程中,我还参考了有关的书籍和论文,在这里一并向有关的作者 表示谢意. 我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友 ,在毕业设计的这段时间里 ,你们给 了我很多的启发 ,提出了很多宝贵的意见 , 对于你们帮助和支持 , 在此我表示深深地感 谢! 2014 年 3 月 13 日.

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