1. <form id='Nv6Fzy'></form>
        <bdo id='Nv6Fzy'><sup id='Nv6Fzy'><div id='Nv6Fzy'><bdo id='Nv6Fzy'></bdo></div></sup></bdo>

          • 当前位置:首页 >> 理学 >>

            数学与应用数学毕业论文


            上饶师范学院数学与计算机科学学院

            本科毕业论文
            论 文 题 目: 专 班 学 业: 级: 号: 积分中值定理的证明及其应用 数学与应用数学 10 数( 2) 10010230 刘秀峰 汪小明

            学 生 姓 名: 指导教师姓 名:

            上饶师范学院数学与计算机科学学院 2014 年 05 月

            摘 要
            本文总结了积分中值定理证明及其应用, 积分中值定理的推广及其 推广的积分中值定理的应用,以及给出了一些相关的例子.

            关键词 积分中值定理;推广; 应用

            Abstract
            This proving and paper summarizes
            of

            the

            integral
            mean

            mean
            value

            value
            theorem is

            theorem
            extended

            application , application

            integral

            and generalized integral mean value theorem ,

            and gives some examples .

            Key words

            integral mean value theorem ; spread; application

            I




            1

            绪论…………………………………………………………………………

            1 积分中值定理的证明………………………………………………………2 1.1 积分第一中值定理…………………………………………………… 2

            1.2 积分第二中值定理………………………………………………………2 2 积分中值定理的应用………………………………………………………4 2.1 估计积分值………………………………………………………………4 2.2 证明函数的单调性……………………………………………………… 5 3 积分中值定理的推广………………………………………………………5 3.1 积分第一中值定理的推广………………………………………………5 3.2 积分第二中值定理的推广……………………………………………… 6 3.3 第一曲线积分中值定理………………………………………………… 7 3.4 第一曲面积分中值定理………………………………………………… 7 4 推广的积分中值定理应用…………………………………………………8 5 结论 …………………………………………………………………… 12

            谢辞……………………………………………………………………………13 参考文献………………………………………………………………………14

            II

            积分中值定理的证明及其应用
            2010 级数学与计算机科学学院(2)班 刘秀峰 指导老师:汪小明

            绪论:通常情况下,积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。而在 此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理,即在一个区间上的情形。还讨论了在几何 形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理。并且这两个定理在各个方面的应用都较为 广泛,比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以应用,把微积分体系中比较基础的东 西找出更为简单的解决方式:数学中一些定理的证明,数学定理、命题,几何应用,含定 积分的极限应用,确定积分符号,比较积分大小,证明函数单调性,估计积分值。虽然有 时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐,但是我们任然可以把它当作 一个基础定理,解决一些现实问题。 本论文的研究过程为:讨论和分析积分中值定理,然后将其加以推广,最后论述了积 分中值定理在各方面的应用问题。 论文研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理,推广,将各方面的应用如: 估计积分值,求含有定积分的极限,确定积分号,比较积分大小,证明函数的单调性还有 对阿贝尔判别法这个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。

            1

            1 积分中值定理的证明 1.1 积分第一中值定理

            定理 1[1] 如果 f ( x) 函数在闭区间 [a, b] 上连续,则在区间 [a, b] 上至少存在一个点 ? ,使 下式

            ?
            成立。

            b

            a

            f ( x)dx ? f (? )(b ? a), (a ? ? ? b)

            证明: 因为 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,所以 f ( x) ?a, b? 在上有最大值 M 和最小值 m , 即
            m ? f ( x) ? M ,我们对不等式进行积可得

            ?

            b

            a

            mdx ?? f ( x)dx ?? Mdx
            a a

            b

            b

            有积分性质可知

            m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a)
            a

            b

            由于 b ? a ? 0 ,对不等式同时除以 b ? a 可得
            m? 1 b f ( x)dx ?M 。 b ? a ?a

            此式表明

            1 b f ( x)dx 介于函数 f ( x) 的最大值 M 和最小值 m 之间。 b ? a ?a

            由闭区间上连续函数的介值定理,在闭区间 [a, b] 上至少存在一点 ? ,使得函数 f ( x) 在 点 ? 处的值与这个数相等,即应该有

            1 b f ( x)dx ? f (? ) , b ? a ?a
            成立,将上式两端乘以 b ? a 即可得到

            ?
            命题得证。

            b

            a

            f ( x)dx ? f (? )(b ? a), (a ? ? ? b) ,

            备注 1:很显然,积分中值定理中公式

            ?

            b

            a

            f ( x)dx ? f (? )(b ? a) ( ? 在 a 与 b 之间)

            不论 a ? b 或 a ? b 都是成立的。

            2

            1.2 积分第二中值定理
            定理 2[2] 设函数 f 在 ?a, b? 上可积. (i)若函数 g 在 ?a, b? 上减,且 g ( x) ? 0,则存在 ? ? [ a , b ] ,使得

            ?

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx ?g (a) ? f ( x)dx
            a

            ?

            (5)

            (ii)若函数 g 在 ?a, b? 上增,且 g ( x) ? 0,则存在? ? [ a , b ] ,使得

            ?

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx ? g (b)? f ( x)dx
            ?

            b

            (6)

            证明:下面只证(i),类似地可证(ii).设

            F ( x) ? ? f (t )dt, x ?[a, b] .
            a

            x

            由于 f 在 [a, b] 上可积,因此 F 在 [a, b] 上连续,从而存在最大值 M 和最小值 m . 若 g (a) =0,由假设 g ( x) ? 0 , x ? [a, b] ,此时对任何 ? ? ?a, b? ,(5)式恒成立.下面设
            g (a) ? 0 ,这是(5)式即为

            F (? ) ? ? f (t )dt ?
            a

            ?

            1 b f ( x) g ( x)dx . g (a) ?a

            (5*)

            所以问题转化为只须证明
            m? 1 b f ( x) g ( x)dx ? M , g (a) ?a

            (7)

            因为由此可借助 F 的介值姓立刻证得(5*) . 当然(7)式又等同于

            mg(a) ? ? f ( x) g ( x)dx ? Mg (a),
            a

            b

            (7*)

            下面就来证明这个不等式 由条件 f 有界, 设 f ( x) ? L , x ? [a, b] ;而 g 必为可积,从而对任给的 ? >0,必有 分割 T : a ? x0 ? x1 ?
            g i

            ? xi ?1 ? xi ?

            ? xn ? b ,使得

            ?? ? x ? L .
            T
            i

            ?

            现把 I = ? f ( x) g ( x)dx 按积分区间可加性写成
            a

            b

            3

            n n n x x x I ? ? ? i f ( x) g ( x)dx ? ? ? i [ g ( x) ? g ( xi ?1)] f ( x)dx ? ? g ( xi ?1) ? i f ( x)dx xi?1 i ?1 xi?1 i ?1 xi?1 i ?1

            ?

            I ?I
            1

            2

            .

            对于 I 1 ,必有

            I

            1

            n x ? ? ? i g ( x) ? g ( xi ?1) . f ( x) dx x i ?1 i ?1

            ? L ? ?? i
            i ?1

            n

            g

            ?x ? L ? L ? ? .
            i

            ?

            对于 I 2 ,由于 F ( x0) ? F (a) ? 0 ,和

            ?x
            可得

            xi
            i ?1

            f ( x)dx ? ?

            xi

            a

            f ( x)dx ? ?

            xi?1

            a

            f ( x)dx

            ? F ( xi) ? F ( xi ?1) ,

            I 2 ? ? g ( xi?1)[F ( xi) ? F ( xi?1)]
            i ?1

            n

            ? g(

            x )[F ( x ) ? F ( x )]??? g( x
            0 1 0

            n?1

            )[F ( xn) ? F ( xn?1)]

            ? F ( x1)[g( x0) ? g( x1)] ??? F ( xn?1)[g( xn?2) ? g( xn?1)] ? F ( xn) g( x?1)
            ? ? F ( xi )[g ( xi ?1) ? g ( xi )] ? F (b) g ( xn?1). 再由 g ( x) ? 0 且减,使得其中
            i ?1 n ?1

            g( xn?1) ? 0, g( xi ?1) ? g( xi) ? 0, i ? 1,2,?, n ?1. 于是利用 F ( xi) ? M , i ? 1,2,?, n 估计得

            I 2 ? M ?[ g ( xi?1) ? g ( xi)] ? Mg( xn?1) ? Mg(a). 同理由
            i ?1

            n ?1

            F ( xi) ? M , i ? 1,2,?n 又有 I 2 ? mg(a). 综合 I ? I 1 ? I 2,

            I

            1

            ? ? , mg (a ) ? I 2 ? Mg (a ), 得到

            ? ? ? mg(a) ? I ? Mg(a) ? ? .

            由 ? 为任意小正数,这便证得 mg(a) ? I ? Mg (a), 即不等式(7*)成立.随之又有(7), (5*)和(5)式成立.

            4

            2 积分中值定理的应用 2.1 估计积分值 例 1 估计 ?0
            解:由于
            1 1 1 ? ? , 1 ? 0.5 1 ? 0.5sin x 1 ? 0.5
            2?

            1 dx 的积分 1 ? 0.5 sin x



            2 1 ? ?2。 3 1 ? 0.5sin x
            于是
            2? 4? 1 ?? dx ? 4? 0 3 0.5 sin x ? 1

            此时可得到估计的积分值为

            ?
            2.2 证明函数的单调性 例2

            2?

            0

            1 8? 4? dx ? ? ? ( ? ? 1). 1 ? 0.5 sin x 3 3

            设函数 f ( x) 在 (0, ?? ) 上连续,其中 F ( x) ? ? ( x ? 2t ) f (t )dt ,试证:在 (0, ?? )
            0

            x

            内,若 f ( x) 为非减函数,则 F ( x) 必为非增函数。 证明:利用分歩积分法,将 F ( x) 化为

            F ( x) ? ? ( x ? 2t ) f (t )dt ? x ? f (t )dt ? 2? tf (t )dt
            0 0 0

            x

            x

            x

            对上式求导,可以得到:

            F ?( x) ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? 2 xf ( x) ? ? f (t )dt ? xf ( x) 。
            0 0

            x

            x

            由积分第一中值定理,可得:
            F ?( x) ? xf (? ) ? xf ( x) ? x( f (? ) ? f ( x)),(0 ? ? ? x) 。

            5

            若 f ( x) 为非减函数,则有 f (? ) ? f ( x) ? 0 成立,因此可以得到 F ?( x) ? 0 ,故 F ( x) 为非 增函数,命题得证。

            3 积分中值定理的推广 3.1 积分第一中值定理的推广
            定理 3[3] 若 f ( x) 与 g ( x) 都在 [a, b] 上连续,且 g ( x) 在 [a, b] 上不变号,则至少存在一点 ? , 使得,

            ?

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx ? f (? ) ? g ( x)dx , (a ? ? ? b)
            a

            b

            证明:由于 g ( x) 在 [a, b] 上不变号,我们不妨假设 g ( x ) ? 0 ,并且记 f ( x) 在 [a, b] 上的最大 值和最小值为 M 和 m ,即 m ? f ( x) ? M ,将不等式两边同乘以 g ( x) 可知,此时对于任意 的 x ? [a, b] 都有
            mg ( x) ? f ( x) g ( x) ? Mg ( x)

            成立。对上式在 [a, b] 上进行积分,可得

            m? g ( x)dx ?? f ( x) g ( x)dx ?M ? g ( x)dx 。
            a a a

            b

            b

            b

            此时在 m, M 之间必存在数值 ? ,使得 m ? ? ? M ,即有

            ?
            成立。

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx ?? ? g ( x)dx
            a

            b

            由于 f ( x) 在区间 [a, b] 上是连续的,由连续函数的介值性定理可知在 [a, b] 上必定存在 一点 ? ,使 f (? ) ? ? 成立。此时即可得到

            ?

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx ? f (? ) ? g ( x)dx 。命题得证。
            a

            b

            6

            3.2 积分第二中值定理的推广
            定理 4[4] 设 函 数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 可积,若 g ( x) 为单调函数,则存在 ? ? [a, b] ,使 得

            ?

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx ? g (a)? f ( x)dx ? g (b)? f ( x)dx
            a

            ?

            b

            ?

            (8)

            证明: 若 g 为单调递减函数, 令 h( x) ? g ( x) ? g (b), 则 h 为非负, 递减函数。 由定理 9.11 (i),存在 ? ? [a, b] ,使得 ? f ( x)h( x)dx ? h(a)? f ( x)dx ? [ g (a) ? g (b)]? f ( x)dx
            a a a b

            ?

            ?

            由于 ? f ( x)h( x)dx ? ? f ( x) g ( x)dx ? g (b)? f ( x)dx ,因此证得
            a a a

            b

            b

            b

            ?

            b

            a

            f ( x) g ( x)dx ? g (b)? f ( x)dx ? [ g (a) ? g (b)]? f ( x)dx
            a a

            b

            ?

            = g (a)? f ( x) ? g (b)? f ( x)dx
            a

            ?

            b

            ?

            若 g 为单调递增函数,只需令 h( x) ? g ( x) ? g (a), 并由定理 9.11(ii)和(6),同样 可证得 (8)式成立。

            3.3 第一曲线积分中值定理
            定理 5[5] 如果函数 f ( x, y ) 在光滑有界闭曲线 C 上连续,则在曲线 C 上至少存在一点
            (? ,? ) ,使

            ?
            成立,其中 S 为曲线 C 的弧长。

            C

            f ( x, y )ds ? f (? ,? ) S

            证明:因为函数 f ( x, y ) 在光滑有界闭曲线 C 上连续,所以存在 m, M ? R , 其 中
            m ? f ( x, y)? M,对不等式在闭曲线 C 上进行第一类曲线积分可得

            m ? ? ds ? ? f ( x, y )ds ? M ? ? ds ,
            C C C

            其中 ? ds 为曲线 C 的弧长,并且 ? ds ? S ,由于 S ? 0 ,将上式同除以常数 S ,即可得到
            C

            C

            m?

            1 f ( x, y )ds ? M , S ?C

            7

            由于函数 f ( x, y ) 在曲线 C 上连续,故由闭区间上连续函数的介值定理,在曲线 C 上至 少存在一点 (? ,? ) ,使
            f (? ,? ) ? 1 f ( x, y )ds S ?C

            成立,左右两边同除以常数 S ,即可得到结论,从而命题得证。

            3.4 第一曲面积分中值定理
            定理 6[6] 设 D 为 xoy 平面上的有界闭区域,其中 z ? z ( x, y) 为光滑曲面 S ,并且函数
            f ( x, y, z ) 在 S 上连续,则在曲面 S 上至少存在一点 (? ,? , ? ) ,使

            ?? f ( x, y, z )d? ? f (? ,? , ? ) ? A
            S

            成立,其中 A 是曲面 S 的面积。 证明:因为 f ( x, y, z ) 在曲面 S 上连续,所以存在 m, M ? R 且使得 m ? f ( x, y, z ) ? M 成 立,我们对上式在 S 上进行第一类曲面积分可得
            m ? ?? d? ? ?? f ( x, y , z )d? ? M ?? d? ,
            S S S

            其中 ?? d? 为曲面的面积,且 ?? d? ? A ,因为 A ? 0 ,两边同除以 A 有
            S

            S

            m?

            1 f ( x, y, z )d? ? M , A ?? S

            由于 f ( x, y, z ) 在曲面 S 上连续,故由介值定理,在曲面 S 上至少存在一点 (? ,? , ? ) ,使

            f (? ,? , ? ) ?
            成立,两边同时乘以 A 可得

            1 f ( x, y, z )d? , A ?? S

            ?? f ( x, y, z )d? ? f (? ,? , ? ) ? A ,
            S

            命题得证。

            4 推广的积分中值定理应用 例 3 求极限 lim ?0
            n ?? 1

            xn 1 ? x2

            解:利用推广的第一积分中值定理

            8

            lim ?
            n ??

            xn 1 dx ? 0 1 ? x2 1? ? 2
            1

            ?

            1

            0

            x n dx

            ?


            1 x n?1 1 1 [ ]0? ,(0 ? ? ? 1) 2 2 1? ? 1? n (1 ? ? )(1 ? n)

            xn 1 lim ? dx ? lim ?0 n?? 0 1 ? x 2 n ?? (1 ? ? 2 )(1 ? n)
            1

            例 4 确定积分 ??1 x3e x dx 的符号
            解:

            1

            ?

            1

            ?1

            x3e x dx ? ? x3e x dx ? ? x3e x dxx ? ?t ? (?t )3 e?t d (?t ) ? ? x3e x dx
            ?1 0 ?1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0

            0

            1

            0

            1

            ? ? t 3et dt ? ? x3e x dx ? ?? t 3e?t dt ? ? x3e x dx ? ? x3 (e x ? e? x )dx
            由推广的积分第一中值定理可知

            ?
            (0 ? ? ? 1) 。

            1

            0

            x (e ? e )dx ? ?
            3 x ?x

            3 1 0

            ? (e ? e
            x

            ?x

            )dx

            ?0

            , 其 中

            所以 ? x 3e x dx 的符号为正号。
            ?1

            1

            例 5 证明(阿贝尔判别法)如果 ?a f ( x)dx 收敛, g ( x) 在[ a , ? ? ) 单调有界,那么

            ??

            ?

            ??

            a

            f ( x) g ( x)dx 收敛。

            证明:由假设条件,利用第二中值定理的推论,在任何一个区间 [ A, A?] 上(其中
            A, A? ? a ),存在 ? ? [ A, A?] ,使得

            ?

            A?

            A

            f ( x) g ( x)dx ? g ( A)? f ( x)dx ? g ( A?) ? f ( x)dx 。
            A

            ?

            A?

            ?

            由于 ?

            ??

            a

            f ( x)dx 收敛,所以对于任何的 ? ? 0 ,存在 A0 ? a ,使得当 A?, A ? A0 时,成立

            ?

            ?
            A

            f ( x)dx ? ? ,

            ??

            A?

            f ( x )dx ? ? 。

            9

            又由 g ( x) ? L, 所以当A?, A ? A0时,有

            ?

            A?

            A

            f ( x) g ( x)dx ? g ( A) ? f ( x)dx ? g ( A?) ? f ( x)dx
            A

            ?

            A?

            ?

            ? g ( A)

            ?

            ?

            A

            f ( x)dx ? g ( A?)

            ??

            A?

            f ( x)dx ? 2 L? ,

            根据柯西收敛原理可推知积分 ?

            ??

            a

            f ( x) g ( x)dx 收敛。

            备注 2: 当讨论无界函数广义积分时,可将阿贝尔判别法可改写为: 假设 f ( x) 在 x ? a 有奇点, ? f ( x )dx 收敛, g ( x) 单调有界,那么积分 ? f ( x) g ( x)dx 收 a a 敛。 证明:对 ?
            a ?? ? a ??
            b b

            f ( x) g ( x)dx 应用第二积分中值定理,证明过程略。

            备注 3:当讨论二元函数的积分限为含有参变量时,则含参变量的广义积分的阿贝尔 判别法可写为: 假设 ?
            ?? a

            f ( x, y ) dx关于 y ? [ c, d ] 为一致收敛, g ( x, y ) 关于 x 单调(即对每个固定的

            y ? [c, d ] , g ( x, y ) 作为 x 的函数是单调的),并且关于 y 是一致有界的,即存在正数 L ,

            对所讨论范围内的一切 x, y 成立: g ( x, y) ? L 。那么积分

            ?
            关于 y 在 [c, d ] 上是一致收敛的。 证明:由于 ?
            ?? a

            ??

            a

            f ( x, y ) g ( x, y )dx

            f ( x, y ) dx 关于 y ? [ c, d ] 是一致收敛的,则对于任意正数 ? ? 0 ,存在

            A0 ? a ,当 A?, A ? A0 时,成立

            ?
            ?
            A?

            A?

            A

            f ( x, y)dx ? ? 。

            因此,当 A?, A ? A0 时,将 y 看成给定常数,则由积分第二中值定理推论中的公式
            A

            f ( x, y ) g ( x, y )dx ? g ( A, y)?

            ? ( y)

            A
            A?

            f ( x, y)dx ? g ( A?, y)?

            A?

            ? ( y)

            f ( x, y)dx

            因为对任意的 x, y 都有 g ( x, y) ? L ,则

            ?

            A

            f ( x, y ) g ( x, y )dx ? 2 L? 。

            10

            因此, ?

            ??

            a

            f ( x, y ) g ( x, y )dx 关于 y 在 [c, d ] 上是一致收敛的,命题得证。

            11

            5

            结论
            本文通过讨论积分中值定理,对积分中值定理内容如积分中值定理的定义、推广、应

            用加以说明,使得我们对积分中值定理有一个大概的了解。本文论述得还是比较完全的, 对于积分中值定理的各个方面有关情形都一一加以讨论。积分中值定理的推广问题也是当 今数学研究的一个方向,我们再此也给出了简单的介绍。但本文的内容缺少了与实际接轨 的东西,理论性质比较强,任何学科的研究都是为现实生活服务的,我希望在应用方向能 够找到更加实际的东西,因此当然希望以后能有现实的东西加在理论问题的研究之中。

            12





            我要衷心感谢我的汪老师两个多月来对我辛勤的培育和无微不至的关怀。在选题,查 找资料,撰写,到反复修改,乃至定稿,都得到了汪老师的悉心指导。汪老师有着严谨的 治学态度,忘我的工作态度以及正直的为人和宽广的胸怀,是我们的楷模,也使学生铭记 于心,这些将影响我日后的工作和学习,将使我受益终身。

            13

            参考文献
            [1] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析(第三版上册)[M],北京:高等教育出版社,2004.294-310 [ 2] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析(第三版下册)[M],北京:高等教育出版社,2004.165-170 [3] 陈传璋、金福林等编.数学分析(下册)[M],北京:高等教育出版社,1983. 286-288 [ 4] 陈传璋、金福林等编.数学分析(上册)[M],北京:高等教育出版社,1983. 51-56, 252 [5] 胡卫敏. 积分中值定理及其推广[J] . 伊犁师范学院学报,2004. 6-10 [6] Altonso G Azpeitia . On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula[J] . Amer Math Monthly ,
            1982.12-17

            14


            相关文章:
            数学与应用数学专业毕业论文
            数学与应用数学专业毕业论文 - 数学与应用数学 浅谈数学学习兴趣和课堂效率的提高 [摘要]:认识兴趣是力求认识世界,渴望获得文化科学知识和不断探求真理而带有情绪...
            数学与应用数学毕业论文-(1)
            数学与应用数学毕业论文-(1) - 成人高等教育 毕业论文(设计) 题 目: 数学教学中的德育渗透 完成人:张国杰 专业:数学与应用数学 本科 年级层次:2010 级指...
            数学与应用数学专业毕业论文参考题目
            数学与应用数学专业毕业论文参考题目 - 数学与应用数学专业毕业论文参考题目 A、 1、极限思想的产生和发展; 2、利用泰勒展式求函数极限; 3、数列极限和函数极限的...
            数学与应用数学专业毕业论文
            数学与应用数学专业毕业论文 - 贵阳学院成人高等教育学生毕业论文 站点名称: 安 学生姓名: 班学明 顺函全 授美 站 级:2010 级数学与应用数学 号: 指导教师: ...
            数学与应用数学毕业论文 精品
            数学与应用数学毕业论文 精品 - 本科毕业论文 题院专 目别业 分块矩阵的应用 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师 评阅教师 班姓学级名号 目 录 摘....
            数学与应用数学毕业论文
            数学与应用数学毕业论文_理学_高等教育_教育专区。太原师范学院毕业论文(设计)等价无穷小量性质的理解、推广及应用 姓学年专系 名号级业 (院) 吴艳芳 *** 2012...
            数学与应用数学专业毕业论文参考题目 (精选)
            数学与应用数学专业毕业论文参考题目 (精选)_理学_高等教育_教育专区。数学与应用数学专业毕业论文参考题目 (精选)数学与应用数学专业毕业论文参考题目 论文指导:选题...
            数学与应用数学专业毕业论文
            数学与应用数学专业毕业论文_理学_高等教育_教育专区。浅谈数学学习兴趣和课堂效率的提高 [摘要] 认识兴趣是力求认识世界, 渴望获得文化科学知识和不断探求真理 而...
            数学与应用数学专业毕业论文参考题目
            数学与应用数学专业毕业论文参考题目 A、 1、极限思想的产生和发展; 2、利用泰勒展式求函数极限; 3、数列极限和函数极限的统一; 4、求函数极限的方法; 5、等价...
            数学与应用数学毕业论文
            数学与应用数学毕业论文 - 七年级学生数学解题能力的培养 目录 摘要......
            更多相关标签: