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            2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理科


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            2014 年高招全国课标 1(理科数学 word 解析版)
            第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项。
            2 1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B= x ?2 ? x ? 2 ,则 A ? B =

            ?

            ?

            A .[-2,-1]
            【答案】 :A

            B .[-1,2)

            C .[-1,1]

            D .[1,2)

            2 【解析】 :∵A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 }= x x ? ?1 或 x ? 3 ,B= x ?2 ? x ? 2 ,

            ?

            ?

            ?

            ?

            ∴ A ? B = x ?2 ? x ? 1 ,选 A..

            ?

            ?

            2.

            (1 ? i )3 = (1 ? i ) 2
            B .1 ? i

            A .1 ? i

            C . ?1 ? i

            D . ?1 ? i

            【答案】 :D 【解析】 :∵

            (1 ? i )3 2i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,选 D.. = ?2i (1 ? i ) 2

            3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正 确的是

            A . f ( x) g ( x) 是偶函数

            B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

            C . f ( x) | g ( x) |是奇函数
            【答案】 :C

            【解析】 :设 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,则 F (?x) ? f (?x) g ( ?x) ,∵ f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,∴ F (? x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?F ( x) , F ( x) 为奇函数,选 C.

            4.已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距
            2 2

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            离为

            A. 3

            B .3

            C . 3m

            D . 3m

            【答案】 :A 【解析】 :由 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) ,得

            x2 y 2 ? ? 1 , c2 ? 3m ? 3, c ? 3m ? 3 3m 3

            设F

            ?

            3m ? 3, 0 ,一条渐近线 y ?

            ?

            3 x ,即 x ? my ? 0 ,则点 F 到 C 的一条渐近线 3m

            的距离 d ?

            3m ? 3 = 3 ,选 A. . 1? m

            5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公 益活动的概率

            A.

            1 8

            B.

            3 8

            C.

            5 8

            D.

            7 8

            【答案】 :D 【解析】 :4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 2 ? 16 种,
            4

            1 1 周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况:①一天一人一天三人有 C4 A2 ? 8 种;②每 2 天 2 人有 C4 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为 ? 6 种,

            8?6 7 ? ; 或间接解法: 16 8

            4 位同学都在周六或周日参加公益活动有 2 种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为

            16 ? 2 7 ? ;选 D. 16 8

            6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始 边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M , 将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ]上 的图像大致为

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            【答案】 :B 【解析】 : 如图: 过 M 作 MD⊥OP 于D, 则 PM= sin x , OM= cos x , 在 Rt ?OMP 中,MD=

            OM ?PM cos x ?sin x ? ? cos x sin x OP 1

            ?

            1 1 sin 2 x ,∴ f ( x) ? sin 2 x (0 ? x ? ? ) ,选 B. . 2 2

            7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

            A.

            20 3

            B.

            16 5

            C.

            7 2

            D.

            15 8

            【答案】 :D 【解析】 :输入 a ? 1, b ? 2, k ? 3 ; n ? 1 时: M ? 1 ?

            1 3 3 ? , a ? 2, b ? ; 2 2 2 2 8 3 8 3 3 15 8 15 n ? 2 时: M ? 2 ? ? , a ? , b ? ; n ? 3 时: M ? ? ? , a ? , b ? ; 3 3 2 3 2 8 8 3 8 15 n ? 4 时:输出 M ? . 选 D. 8

            8.设 ? ? (0,

            ?

            1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

            A . 3? ? ? ?
            【答案】 :B

            ?
            2

            B . 2? ? ? ?

            ?
            2

            C . 3? ? ? ?

            ?
            2

            D . 2? ? ? ?

            ?
            2

            【解析】 :∵ tan ? ?

            sin ? 1 ? sin ? ? ,∴ sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?

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            ? ? ? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? 2 2 2 2 ?2 ?
            ∴? ? ? ?

            ?
            2

            ? ? ,即 2? ? ? ?

            ?
            2

            ,选 B

            9.不等式组 ?

            ?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

            p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
            其中真命题是

            A . p2 , P 3
            【答案】 :C

            B . p1 , p4

            C . p1 , p2

            D . p1 , P 3

            【解析】 :作出可行域如图:设 x ? 2 y ? z ,即 y ? ? 当直线过 A ? 2, ?1? 时,

            1 z x? , 2 2

            zmin ? ?2 ? 2 ? 0 ,∴ z ? 0 ,∴命题 p1 、 p2 真命题,选 C.

            10.已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的
            2

            一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

            ??? ?

            ??? ?

            A.

            7 2

            B.

            5 2

            C .3

            D .2

            【答案】 :C 【解析】 :过 Q 作 QM⊥直线 L 于 M,∵ FP ? 4FQ ∴

            ??? ?

            ??? ?

            PQ

            QM PQ 3 3 ? ? ,∴ QM ? 3 ,由抛物线定义知 QF ? QM ? 3 ? ,又 4 PF 4 PF 4

            选C

            11.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围
            3 2

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            A .(2,+∞)
            【答案】 :B

            B .(-∞,-2)

            C .(1,+∞)

            D .(-∞,-1)

            【解析 1】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

            2 , a

            ? ?

            2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

            且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

            ? ?

            2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
            2 a
            2

            要使 f ( x ) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 B
            3 2 【解析 2】 :由已知 a ? 0 , f ( x ) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3? ?

            1 x

            1 x3

            有唯一的正零根,令 t ?

            1 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 x

            y ? ?t 3 ? 3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记 f (t ) ? ?t 3 ? 3t , f ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ,由
            f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 , t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; ,

            t ??1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 B

            12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

            A .6 2
            【答案】 :C

            B .4 2

            C .6

            D .4

            【解析】 :如图所示,原几何体为三棱锥 D ? ABC , 其中 AB ? BC ? 4, AC ? 4 2, DB ? DC ? 2 5 ,

            DA ?

            ?4 2 ?

            2

            ? 4 ? 6 ,故最长的棱的长度为 DA ? 6 ,选 C

            第Ⅱ卷
            本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 更多高中教学资料请进 www.jtyhjy.com 下载

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            答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 【答案】 : ? 20
            r 8?r r 【解析】 : ( x ? y)8 展开式的通项为 Tr ?1 ? C8 x y (r ? 0,1,?,8) , 7 6 2 6 ∴ T8 ? C8 xy7 ? 8xy7 , T7 ? C8 x y ? 28x2 y6

            .(用数字填写答案)

            ∴ ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 7 的项为 x? 8xy7 ? y? 28x2 y6 ? ?20x2 y7 ,故系数为 ? 20。

            14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 【答案】 :A 【解析】 :∵丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过 B 城市,乙说:我没去过 C 城市 ∴三人同去过同一个城市应为A,∴乙至少去过A,若乙再去城市 B,甲去过的城市至多两 个,不可能比乙多,∴可判断乙去过的城市为A. .

            15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? 【答案】 : 90
            0

            ????

            ? ???? ? ??? ? ??? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

            .

            ? ???? 1 ??? ( AB ? AC ) ,∴O 为线段 BC 中点,故 BC 为 ? O 的直径, 2 ? ??? ? ??? 0 0 ∴ ?BAC ? 90 ,∴ AB 与 AC 的夹角为 90 。
            【解析】 :∵ AO ?

            ????

            16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

            (2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

            .

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            【答案】 : 3 【解析】 :由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , 即 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,由及正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ∴ b ? c ? a ? bc ,故 cos A ?
            2 2 2

            b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,∴ ?A ? 600 ,∴ b2 ? c 2 ? 4 ? bc 2bc 2

            1 4 ? b2 ? c2 ? bc ? bc ,∴ S ?ABC ? bc sin A ? 3 , 2
            三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1, 其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减

            an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

            …………6 分

            (Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

            n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

            数列偶数项构成的数列 ?a2m? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

            n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2
            *

            ∴ an ? 2n ? 1( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. ………12 分

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            18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频率分布直方图:

            (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点 值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,其 中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 .
            2

            2

            (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.
            2 若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

            【解析】 :(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为

            2

            x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200
            s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33
            2 2 2

            ? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02
            2 2 2

            ? 150
            (Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而

            …………6 分

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            P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ?12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826

            ………………9 分

            (ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意知 X ? B(100,0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 ………12 分

            19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值. 【解析】 :(Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因 为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ?,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C , 所以 B1C ? 平面 ABO ,故 B1C ? AO ?又 B1O ? CO ,故

            AC ? AB1

            ………6 分

            (Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO? 又因为 AB=BC?,所以 ?BOA ? ?BOC 故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单 位长,建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为

            ?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?,则
            ? ? ? 3 ? 3 ? 3? A? 0, 0, , 0 ,0? , B ?1,0,0 ? , B1 ? 0, , C ? 0, ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 ? ???? 3 ? ????? ??? 3 ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ?? ?1, ? ,0? , A1 B1 ? AB ? ?1, 0, ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? 设 n ? ? x, y, z ? 是平面的法向量,则

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            ? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ? ? n ? AB ? 0 ? ? 3 3 1 ,即 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? ???? ? ? ?x ? 3 z ? 0 ?n?A1 B1 ? 0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?m?A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n?B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? 1 n?m 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A . 1B 1 ? C1 的余弦值为 7 n ?m 7

            ?

            ?

            ?

            ?

            20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E :

            x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

            F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为
            (Ⅰ)求 E 的方程;

            2 3 , O 为坐标原点. 3

            (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【解析】 :(Ⅰ) 设 F ? c,0? ? ? ,由条件知

            c 3 2 2 3 ,得 c ? 3 ? 又 ? , ? a 2 c 3
            x2 ? y 2 ? 1. 4
            ……….6 分

            所以 a=2?, b ? a ? c ? 1 ,故 E 的方程
            2 2 2

            (Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入

            x2 ? y 2 ? 1,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4
            2

            2 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ?

            3 8k ? 2 4k 2 ? 3 时, x1,2 ? 4 1 ? 4k 2

            4 k 2 ? 1? 4k 2 ? 3 从而 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2
            2

            又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

            2 k 2 ?1

            ,所以 ? OPQ 的面积

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            1 4 4k 2 ? 3 , S?OPQ ? d PQ ? 2 1 ? 4k 2
            设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S?OPQ ?

            4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
            2

            当且仅当 t ? 2 , k ? ?

            7 等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方 2
            …………………………12 分

            程为: y ?

            7 7 x ? 2. x?2 或 y ? ? 2 2

            be x ?1 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的 x
            x

            切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 . 【解析】 :(Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? , f ?( x) ? ae ln x ?
            x

            a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e x x x

            由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ? ? ,故 a ? 1, b ? 2

            ……………6 分

            2 2e x ?1 ?x (Ⅱ)由(Ⅰ)知,? f ( x) ? e ln x ? ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? e x
            x

            设函数? ?g ( x) ? x l n x ,则 g ?(x) ? x ?ln x ,所以当 x ? ? 0, ? ? ? 时, g ?( x) ? 0 ? ? ,

            ? ?

            1? e?

            当 x ? ? , ?? ? ? ? 时, g ?( x) ? 0 ? ? ,故 g ( x) ? ? 在? ?? 0, ? 单调递减,在 ? ?? , ?? ? 单调递增,从而? ?g ( x) 在 ? 0, ??? ? ? ?的最小值为 ? g( ) ? ? . 设函数? ?h( x) ? xe
            ?x

            ?1 ?e

            ? ?

            ? ?

            1? e?

            ?1 ?e
            1 e

            ? ?

            1 e

            ……………8 分

            ?

            2 ?x ,则 h?( x) ? e ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? ? ? 时, e

            h?( x) ? 0 ? ?,当 x ? ?1, ?? ? ? ?时,h?( x) ? 0 ? ?,故 h( x) ? ?在? ?? 0 , 1 ? 单调递增,
            在? ??1, ?? ? 单调递减,从而? ?h( x) g ( x) 在 ? 0, ??? ? ? ? 的最小值为? h(1) ? ? .

            1 e

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            综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 .

            ……………12 分

            请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在 答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形. 【解析】 :.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以

            ? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,
            所以 ? D= ? E? ……………5 分
            N

            (Ⅱ) 设 BCN 中点为, 连接 MN,则由 MB=MC? , 知 MN⊥BC? 所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD, 所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE,又 ? CBE= ? E, 故 ? A= ? E? ? ? 由(Ⅰ)(1)知 ? D= ? E, 所以△ADE 为等边三角形. ……………10 分

            23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

            ?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

            (Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小 值. 【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0
            o

            ? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

            ( ? 为参数) ,

            ………5 分 更多高中教学资料请进 www.jtyhjy.com 下载

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            (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

            d?

            5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
            4 d 2 5 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? ? 0 3 sin 30 5

            则 | PA |?

            当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

            22 5 ; 5
            …………10 分

            当 sin ?? ? ? ? ? 1时, | PA | 取得最小值,最小值为

            2 5 . 5

            24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
            3 3

            1 1 ? ? ab . a b

            (Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ) 由 ab ?

            1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab

            故 a3 ? b3 ? 3 a3 ? b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
            3 3

            ………5 分

            (Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.

            3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2
            ……………10 分

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