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            2016—2017年东城初三数学第一学期期末试题含答案


            北京市东城区 2016—2017 学年第一学期期末统一测试 初三数学
            2

            2017.1

            一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. .. 1.关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x +4 x + k =0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 则 k 的 值 为 A . k =4 B. k=﹣ 4 C. k≥﹣ 4 D. k≥4 2 2.抛物线 y=x +2x+3 的对称轴是 A.直线 x=1 B.直线 x=﹣1 C.直线 x=﹣2 D.直线 x=2 3.剪 纸 是 我 国 的 非 物 质 文 化 遗 产 之 一 , 下 列 剪 纸 作 品 中 是 中 心 对 称 图 形 的 是

            A

            B

            C

            D

            4.在 课 外 实 践 活 动 中 , 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 小 组 用 投 掷 一 元 硬 币 的 方 法 估 算 正 面 朝 上 的 概 率 , 其 试 验 次 数 分 别 为 10 次 、 50 次 、 100 次 、 200 次 , 其 中 试 验 相 对 科 学 的 是 A. 甲 组 B. 乙 组 C. 丙 组 D. 丁 组

            5.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 将 抛 物 线 y ? x2 ? 2 x ? 1先 向 上 平 移 3 个 单 位 长 度 , 再 向 左 平 移 2 个 单 位长度,所得的抛物线的解析式是 A. y ? ( x ? 1) ? 1
            2

            B. y ? ( x ? 3) ? 1
            2

            C. y ? ( x ? 3) ? 5
            2

            D. y ? ( x ? 1) ? 2
            2

            6.已 知 点 A ( 2 , y 1 ) , B( 4, y2) 都 在 反 比 例 函 数 y ? 关 系 为 A. y1> y2 B. y1< y2

            k ( k< 0) 的 图 象 上 , 则 y1, y2 的 大 小 x
            D. 无 法 确 定

            C. y1=y2

            7.如图,在△ABC 中,∠A=78° ,AB=4,AC=6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形 不相似 的是 ...

            1

            8. 如 图 , 圆 锥 的 底 面 半 径 r 为 6cm , 高 h 为 8cm , 则 圆 锥 的 侧 面 积 为 A . 30πcm 2 C . 60πcm
            2

            B . 48πc m 2 D . 80πc m

            2

            9. 如图,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,∠ACB=90° ,∠A=25° ,过点 C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 D,则 ∠D 的度数是 A.25° B.40° C.50° D.65°

            10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来,
            “互联网+”战略与传统出租车行业深度融合,“优步”、“滴滴出行”等 打车软件就是其中典型的应用 . 名为 “ 数据包络分析 ” (简称 DEA)的一种效率评价方法,可以很好地优化出租车资源配置. 为了解出租车资源的“供需匹配”,北京、上海等城市对每天 24 个时段的 DEA 值进行调查,调查发现, DEA 值越大,说明匹 配度越好.在某一段时间内, 北京的 DEA 值 y 与时刻 t 的关系近 似满足函数关系 y ? ax2 ? bx ? c(a,b,c 是常数,且 a ? 0 ) , 如图记录了 3 个时刻的数据,根据函数模型和所给数据,当“供 需匹配”程度最好时,最接近的时刻 t 是 A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11. 请你写出一个图象分别位于第二、 四象限的反比例函数的解析式, 这个解析式可以是 12.已知 m 是关于 x 的方程 x ﹣2x﹣3=0 的一个根,则 2m ﹣4m= 13. 二次函数 y ? x ? 4x ? 2 的最小值为
            2
            2 2

            y

            1.1 0.87 0.43

            O

            4

            5

            6

            t







            14. 天坛是古代帝王祭天的地方,其中最主要的建筑就是祈年殿.老师希望同学们利用 所学过的知识测量祈年殿的高度,数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量 图形,并测出竹竿 AB 长 2 米,在太阳光下,它的影长 BC 为 1.5 米,同一时刻, 祈年殿的影长 EF 约为 28.5 米.请你根据这些数据计算出祈年殿的高度 DE 约为 米.
            D

            A

            E

            F

            B

            C

            15. 如图, 在 Rt△ABC 中,?ACB ? 90? , AC ? 2 3 ,以点 C 为圆心,CB 的长为半



            ? 绕点 D 旋转 180°后点 B 与点 A 恰好重合,则图中阴 画弧,与 AB 边交于点 D ,将 BD
            影部分的面积为 .
            2

            16.如图,已知菱形 OABC 的顶点 O(0,0) ,B(2,2) ,菱形的对角线的交点 D 的坐标为

            ;菱形 OABC 绕 .

            点 O 逆时针旋转, 每秒旋转 45° , 从如图所示位置起, 经过 60 秒时, 菱形的对角线的交点 D 的坐标为

            y

            3 2 A 1 –3 –2 –1 O D 1 C 2 3 B

            x

            –1 三、解答题(本题共 72 分,第 17—26 题,每小题 5 分,第 27,28 题各 7 分,第 29 题 8 分) –2

            17.解方程: 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 .
            2

            18. 如 图 , 在 △ ABC 中 , AD 是 中 线 , ∠ B = ∠ DAC , 若 BC =8 , 求 AC 的 长 .
            A

            B

            D

            C

            19.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,若 AB=8,CD=6,求 BE 的长.

            20. 如图, 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, Rt△ABO 的边 AB 垂直于 x 轴, 垂足为点 B, 反比例函数 y1 ? (x>0)的图象经过 AO 的中点 C,且与 AB 相交于点 D, OB=4,AB=3. (1)求反比例函数 y1 ?

            k1 x

            k1 (x>0)的解析式; x

            (2)设经过 C,D 两点的一次函数解析式为 y2 ? k2 x ? b ,求出其解析式, 并根据图象直接写出在第一象限内,当 y2>y1 时, x 的取值范围.

            21.列方程或方程组解应用题:
            2m

            公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图阴影 部分) ,原空地一边减少了 1m,另一边减少了 2m,剩余空地的面积为 20m2,求原 正方形空地的边长.
            1m 20m2

            3

            22. 按照要求画图: (1)如图,在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为(﹣1,3) , (﹣4,1) , (﹣2,1) ,将△ABC 绕原 点 O 顺时针旋转 90° 得到△A1B1C1,点 A,B,C 的对应点为点 A1,B1,C1.画出旋转后的△A1B1C1;

            (2)下列 3× 3 网格都是由 9 个相同小正方形组成,每个网格图中有 3 个小正方形已涂上阴影,请在余下的 6 个 空白小正方形中,选取 1 个涂上阴影,使 4 个阴影小正方形组成一个中心对称图形(画出两种即可) .

            23.甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字 2,3,5.将三张牌背面朝 上,洗匀后放在桌子上.甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张. (1)请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率; (2) 若两人抽取的数字和为 2 的倍数, 则甲获胜; 若抽取的数字和为 5 的倍数, 则乙获胜. 这个游戏公平吗? 请用概率的知识加以解释.

            24.在平面直角坐标系 xOy 中, 对称轴为直线 x=1 的抛物线 y= -x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B, 与 y 轴交于点 C, 且点 B 的坐标为(﹣1,0) . (1)求抛物线的解析式; (2)点 D 的坐标为(0,1) ,点 P 是抛物线上的动点,若△PCD 是以 CD 为底 的等腰三角形,求点 P 的坐标.

            25. 如图,AB 是⊙O 的直径, AC 是弦,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E,连接 BD. (1 )求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若

            BD 5 ? , AD ? 4 5 ,求 CE 的长. DE 2

            4

            26. 问题探究: 新定义:将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”,其“等积线”被该 平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”(例如圆的直径就是圆的“等积线段”) . 解决问题:
            A
            A A

            B

            D 图1

            C

            B 图2

            C

            B 图3

            C

            已知在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AB=AC= 2 2 . (1)如图 1,若 AD⊥BC,垂足为 D,则 AD 是△ABC 的一条等积线段,求 AD 的长; (2)在图 2 和图 3 中,分别画出一条等积线段,并求出它们的长度. (要求:使得图 1、图 2 和图 3 中的等积线 段的长度各不相等)

            27. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? mx 2 ? 2mx ? m ? 4 ( m ? 0 )与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C(0,-3) . (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使 PA+PC 的值最 点 P 的坐标; (3)将抛物线在 B,C 之间的部分记为图象 G(包含 B,C 两点), 若直线 y=5x+b 与图象 G 有公共点, 请直接写出 b 的取值范围. 小,求

            28. 点 P 是矩形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一个动点(点 P 不与点 A,C 重合) ,分别过点 A,C 向直线 BP 作垂线,垂足分别为点 E,F,点 O 为 AC 的中点. (1)如图 1,当点 P 与点 O 重合时,请你判断 OE 与 OF 的数量关系; (2)当点 P 运动到如图 2 所示位置时,请你在图 2 中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然成立; (3)若点 P 在射线 OA 上运动,恰好使得∠OEF=30° 时,猜想此时线段 CF,AE,OE 之间有怎样的数量关系, 直接写出结论不必证明.
            D E (P) O F A 图1 B
            A 图2 P B O

            C

            D

            C

            5

            D

            C

            O

            A 备用图

            B

            29.在平面直角坐标系 xOy 中,有如下定义:若直线 l 和图形 W 相交于两点,且这两点的距离不小于定值 k,则 称直线 l 与图形 W 成“k 相关” ,此时称直线与图形 W 的相关系数为 k. (1)若图形 W 是由 A?? 2, ? 1? , B?? 2,1? , C ?2, 1? , D?2, ? 1? 顺次连线而成的矩形:
            1 l1:y=x+2,l2:y=x+1,l3:y= -x-3 这三条直线中,与图形 W 成“ 2 相关”的直线有________; ○ 2 画出一条经过 ?0, ○ ; 1? 的直线,使得这条直线与 W 成“ 5 相关” 3 若存在直线与图形 W 成 ○ “2 相关” , 且该直线与直线 y ? 3x 平行, 与 y 轴交于点 Q, 求点 Q 纵坐标 yQ 的

            取值范围; (2)若图形 W 为一个半径为 2 的圆,其圆心 K 位于 x 轴上.若直线 y ? 关” ,请直接写出圆心 K 的横坐标 xK 的取值范围.

            3 x ? 3 与图形 3

            W 成“3 相

            备用图

            6

            北京市东城区 2016-2017 学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2017.1 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题号 答案 题号 1 A 2 B 11 如: y ? ? 1 答案不唯 答案
            x

            3 A

            4 D 12

            5 A 13

            6 B 14

            7 C 15

            8 C

            9 B 16

            10 C

            二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) (1,1); (-1,-1) 6 -6 38

            一,只要满足 k<0 即可

            3

            三、解答题(本题共 72 分,第 17—26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 17.解方程: 2 x ? 4 x ? 1 ? 0
            2

            ∴ x1 ? 1 ?

            6 6 . , x2 ? 1 ? 2 2

            …………5 分

            18. 解:∵ ∠ B = ∠ DAC ,∠C=∠C, ∴ △ABC∽△DAC. ∴ …………2 分
            A

            AC BC ? . CD AC
            2

            ∴ AC ? CD ? BC .

            …………3 分

            B

            D

            C

            ∵ AD 是 中 线 , BC =8 , ∴ CD ? 4 . ∴ AC ? 4 2 . 19. 解:连接 OC. …………4 分 …………5 分 …………1 分

            ∵ AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E, ∴ 点 E 是 CD 的中点. …………2 分

            在 Rt△OCE 中, OE 2 ? CE 2 ? OC 2 , ∵ AB=8,CD=6, ∴ 可求 OE ? 7 . ∴ BE ? 4 ? 7 . …………4 分 …………5 分

            20.(1)由题意可求点 C 的坐标为(2,

            3 ). …………1 分 2 3 ∴ 反比例函数的解析式为 y1 ? (x>0). …………2 分 x

            (2)可求出点 D 的
            7

            坐标为(4,

            3 ). 4

            …………3 分

            ∴ 可求直线 CD 的解析式 y2 ? 当 2<x<4 时, y2>y1 . 21.解:设原正方形空地的边长为 xm. 根据题意, 得

            3 9 x ? . …………4 分 8 4

            …………5 分 …………1 分 …………2 分 …………4 分 …………5 分

            ? x ?1?? x ? 2? ? 20 .

            解方程, 得 x1 ? 6, x2 ? ?3(舍) 答:原正方形空地的边长为 6m. 22. 解: (1)旋转后的△A1B1C1 如下图: (2)根据题意画图如下:



            合其中的两种即可.

            23.解 : (1)所有可能出现的结果如图: 从表格可以看出,总共有 9 种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人抽取相同数字的结果 有 3 种,所以两人抽取相同数字的概率为

            1 ;………3 分 3

            (2)不公平.从表格可以看出,两人抽取数字和为 2 的倍数有 5 种,两人抽取数字和为 5 的倍数有 3 种,所以甲获胜的概率为 ∵

            5 1 ,乙获胜的概率为 . 9 3

            5 1 > ,∴ 甲获胜的概率大,游戏不公平. 9 3

            24. 解: (1)由题意可求点 A 的坐标为(3,0) . 将点 A(3,0)和点 B(-1,0)代入 y= -x2+bx+c, 得 ?

            ?0=-9+3b ? c, ?b ? 2, 2 解得 ? ∴ 抛物线的解析式 y ? ? x ? 2 x ? 3 . 0 ? ? 1 ? b ? c . c ? 3. ? ?

            …………3 分

            8

            (2)可求出点 C 的坐标为(0,3) . 由题意可知 满足条件的点 P 的纵坐标为 2. ∴ ? x ? 2 x ? 3=2 . 解得 x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2.
            2

            ∴ 点 P 的坐标为 (1 ? 2, 2) 或 (1 ? 2, 2) . …………5 分 25. (1)证明:连接 OD . ∵ OA=OD, ∴ ∠BAD=∠ODA. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠DAC. ∴ ∠ODA=∠DAC. ∴ OD∥AE. ∴ OD⊥DE. ∴ DE 是⊙O 的切线. ∴ ∠ADB=∠E.

            ∵ DE⊥AE, (2)解:∵ OB 是直径,

            ∴ ∠ADB=90° .

            又∵ ∠BAD=∠DAC, ∴ △ABD∽△ADE . ∴

            AB BD 5 . ? ? AD DE 2

            ∴ AB ? 10 . 连 接 DC , ∴ BD ? DC ? 2 5 .

            由勾股定理可知 BD ? 2 5 .

            ∵ A , C , D , B 四 点 共 圆 . ∴ ∠DCE=∠B. ∴ △ DCE∽△ABD . ∴ 26. 解:(1)在 Rt△ADC 中,


            AB BD ? . DC CE

            ∴ CE =2. …………5 分
            ………1 分

            AC ? 2 2 , ?C =45 °,∴ AD ? 2 .

            (2)符合题意的图形如下所示:
            A

            A

            E B

            G
            C

            H C

            B

            E 为 AC 中点, BE ? 10 .

            GH∥BC, GH ? 2 2 .

            27.解:(1)由题意可得, m ? 4 ? ?3 .? m ? 1.

            ? 抛物线的解析式为: y ? x2 ? 2x ? 3 .…2 分
            (2)点 A 关于抛物线的对称轴对称的点是 B,

            9

            连接 BC 交对称轴于点 P, 则点 P 就是使得 PA+PC 的值最小的点. 可求直线 BC 的解析式为 y ? x ? 3 . ∴ 点 P 的坐标为(1,-2). (3)符合题意的 b 的取值范围是-15≤b≤-3. 28.解:(1)OE=OF.
            …………1 分 …………2 分 …………3 分
            D G E P A C

            …………5 分

            …………7 分

            (2)补全图形如右图.
            OE=OF 仍然成立.

            O F B

            证明:延长 EO 交 CF 于点 G. ∵ AE⊥BP, CF⊥BP, ∴ AE∥CF. ∴ ∠EAO =∠GCO.

            又∵ 点 O 为 AC 的中点, ∴ AO=CO.
            ∵ ∠AOE=∠COG, ∴ △AOE≌△COG. ∴ OE=OF. …………7 分

            (3) CF ? OE ? AE 或 CF ? OE ? AE . 29.解: (1)① l1 和 l2 .

            …………2 分

            ② 符合题意的直线如下图所示. …………4 分 夹在直线 a 和 b 或 c 和 d 之间的(含直线 a,b,c,d)都是符合题意的. ○ 3 设符合题意的直线的解析式为 (-1,1) , (1,-1). 分别代入可求出 b1 ? 1 ? 3, b2 ? ?1 ? 3 . ∴ ?1 ? 3 ? yQ ? 1 ? 3. …………6 分

            y ? 3x ? b.

            由题意可知符合题意的临界直线分别经过点

            (2) ?3 ? 7 ? xK ? ?3 ? 7.

            …………8 分

            10


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