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            第3章 聚合风险模型2


            3 . 9 停止损失保险与近似
            对于自留额为d 的停止损失再保险, 对于自留额为 的停止损失再保险,再保 商对损失S 商对损失 的赔付额等于 (S ? d ) +,本节我们 要对几个分布函数来寻求其停止损失保费 的解析表达式. 的解析表达式.这些停止损失保费表达式 也可以被用来计算超额损失再保险的纯保 费.

            正态分布的停止损失保费) 例3 . 9 . 1 (正态分布的停止损失保费)设

            X

            N ( ? ,σ 2 )

            分布,那么 的取自留额d 分布,那么X 的取自留额 的停止损失保费等于多 少?

            因为 φ ′ ( u ) = ?uφ ( u ) ,我们有

            立即得到

            从而

            正态分布的停止损失保费) 例3 . 9 . 1 (正态分布的停止损失保费)设 X

            N ( ? ,σ 2 )

            分布,那么 的取自留额 的停止损失保费等于多少? 留额d 分布,那么X 的取自留额 的停止损失保费等于多少?

            的计算: 自留损失的矩 的计算:注意到下面的等式

            由此可得: 由此可得:

            由此可以计算停止损失赔付下自留损失 S ? ( S ? d ) + 的矩
            如何算啊? 如何算啊?

            停止损失保费的NP 近似)对于某些随机 近似) 例3 . 9 . 4 (停止损失保费的 变量, 的概率用NP 法来近似的效果会相当.那 法来近似的效果会相当. 变量, X>y} 的概率用 { 的停止损失保费也给出一个近似呢? 么可否对X 的停止损失保费也给出一个近似呢? 对 u ≥ 1 和 y ≥ 1,定义如下一个辅助函数

            则有: (1) ) (2) )
            ω (q ( u )) = u



            q ( w ( y)) = y

            .

            q (.)



            w ( .)

            都是单调增的, 都是单调增的,并且

            q ( u ) ≥ y ? w ( y ) ≤ u.

            设 Z 是一个具有均值 0 ,标准差 1 和偏度 γ > 0 的随机变量. 的随机变量.

            NP 近似为

            定义如下 V = q ( max {U ,1}) 如下: ,随机变量 V 定义如下: 否则, 当 U ≥ 1时, V=q ( U ) ;否则, V = 1 .于是 设
            U N ( 0, 1)

            因而

            Z 当d > 1 时的停止损失保费可以通过V 的停止损失保 费来近似.

            为了计算该积分,利用

            d ?uφ ( u ) ? = (1 ? u 2 ) φ ( u ) ? du ?

            例 3. 9 . 5 ( CLT 和 NP 停止损失近似的比较)求满足到 停止损失近似的比较)求满足到
            E[ X ] = ? = 0,Var[ X ] = σ 2 = 1 ,

            以 及 偏 度 分 别 为

            1 1 γ = 0, , ,1, 2, 4 的随机变量 X 的停止损失保费的近似值, 的停止损失保费的近似值, 自留 4 2

            额分别取为 d = 0 ,1,… ,4 . ,

            当偏度为0时 使用公式正态逼近,否则使用NP方法 当偏度为 时,使用公式正态逼近,否则使用 方法

            方差不等情形下的停止损失保费比较
            以概率1 有 U ≥ 0,那么

            这个方程里的被积函数总是非负的.如果 这个方程里的被积函数总是非负的.如果U 和W是两 是两 个具有相同期望值的风险变量, 个具有相同期望值的风险变量,那么

            通过使用区间宽度为1 的梯形公式近似上面的积分, 通过使用区间宽度为 的梯形公式近似上面的积分, 我们得到下面的近似结果 。

            假设两个被积函数的比值近似等于其对应积分的 比值。在此假设下, 比值。在此假设下,给出了近似公式

            经验法则:当自留额 大于期望值 经验法则:当自留额t大于期望值 ? = E [U ] = E [W ] 风险U和 的停止损失保费满足 的停止损失保费满足: 风险 和W的停止损失保费满足:

            时,

            不明确配偶情况” 例3 . 10 . 2 ( “不明确配偶情况”)如果保险人不 不明确配偶情况 知道究竟哪一位被保险人死后会留下一个寡妇, 知道究竟哪一位被保险人死后会留下一个寡妇 , 需要赔付该寡妇的保险抚恤金. 需要赔付该寡妇的保险抚恤金 . 假设被保险人中 已婚的频率为80 已婚的频率为 % ,则有二种方法去计算 (1)把所有的风险额乘上 . 8 而保持一年内死亡 )把所有的风险额乘上0 的概率不变, 的概率不变, 而保持赔付额不变. (2)把死亡概率乘上 . 8 而保持赔付额不变. )把死亡概率乘上0

            可以证明,方法( ) 可以证明,方法(1)下得到索赔的方差大约 等于方法( )的方差的80 等于方法(2)的方差的 % . 如果我们没有用正确的方法, 如果我们没有用正确的方法,而是用上述前一 种方法来计算停止损失保费,那么对于那些比期望 种方法来计算停止损失保费, 理赔大的自留额来说,其停止损失保费就会大约少 理赔大的自留额来说,其停止损失保费就会大约少 20 %。 。

            下面将对 N ? , σ ) (1) π d ; ? , σ

            (

            2

            ) 分布来检验经验法则 3 . 10 . 1 ,记:
            2

            (

            2

            分布的随机变量的停止损失保费, ) 为服从 N ( ? , σ ) 分布的随机变量的停止损失保费,

            (2) π (.) = π (.;0,1) , ) ) 的分布函数, (3)记到 φ (.) 为 N ( O , l )的分布函数, φ (.) = φ ′ (.) 为相应的概率 密度函数. 密度函数.

            则停止损失保费可如下计算: 则停止损失保费可如下计算:

            其中 d

            *

            (d ? ? ) =
            2 2

            为了研究当 σ 改变而 ? 固定时函数 π d ; ? , σ 2 的变 化趋势, 化趋势,对 σ 求偏导得

            σ



            (

            )

            于是,如果我们用来替代 σ 2 + δ 2 ,其中

            δ 为较小的量

            第一项恰好是经验法则刻画的那个比值. 第一项恰好是经验法则刻画的那个比值. 接近于为 第二项在 d ∈ [ ? , ∞ ) 上积分值等于 0 ,该项在 d 接近于为 取大值时为正. 负时,在 d ≈ 0.745 时为 0 ,而在 d 取大值时为正.

            3 由此可得出当自留额大约为 ? + σ 时,经验法则运行 4
            效果会非常好. 效果会非常好.


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