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            2014柳州中考数学试题(解析版)


            2014 年广西柳州市中考数学试卷
            参考答案与试题解析
            一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1. (3 分) (2014?柳州) 如图, 李 师傅做了一个零件, 请你告诉他这个零件的主视图是 (

            )

            A.

            B.

            C.

            D.

            分析: 根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案. 解答: 解:从正面看,左边是个正方形,右边是个矩形, 故选:A. 点评: 本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.

            2. (3 分) (2014?柳州)在所给的 ,0,﹣1,3 这四个数中,最小的数是( A. B.0 C.﹣1 D.3

            )

            考点: 有理数大小比较. 分析: 要解答本题可根据正数大于 0,0 大于负数,可得答案. 解答: 解:﹣1<0< <3.
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            故选:C. 点评: 本题考查了有理数比较大小,正数大于 0,0 大于负数是解题关键. 3. (3 分) (2014?柳州)下列选项中,属于无理数的是( A.2 B.π C. ) D.﹣2

            考点: 无理数. 分析: 根据无理数是无限不循环小数,可得答案. 解答: 解:π 是无限不循环小数, 故选:B. 点评: 本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数.
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            4. (3 分) (2014?柳州)如图,直线 l∥ OB,则∠ 1 的度数是(

            )

            A.120°

            B.30 °

            C.40°

            D.60°

            考点: 平行线的性质. 分析: 根据两直线平行,同位角相等解答. 解答: 解:∵ 直线 l∥ OB, ∴ ∠ 1=60°. 故选 D. 点评: 本题考查平行线的性质,熟记性质是解题的关键.
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            5. (3 分) (2014?柳州)下列计算正确的选项是( ) 2 A. ﹣1= B.( ) =5 C.2a﹣b=ab

            D.

            =

            考点: 分式的加减法;实数的运算;合并同类项. 专题: 计算题. 分析: A、原式利用平方根定义化简,计算即可得到结果; B、原式利用平方根定义化简, 计算即可得到结果; C、原式不能合并,错误; D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果,即可做出判断. 解答: 解:A、原式=2﹣1=1;故选项错误; B、原式=5,故选项正确; C、原式不能合并,故选项错误;
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            D、原式= ,故选项错误. 故选 B. 点评: 此题考查了分式的加减法,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 6. (3 分) (2014?柳州)如图,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在( )

            A.第一象限

            B.第二象限

            C.第三象限

            D.第四象限

            考点: 轴对称的性质. 分析: 根据轴对称的性质作出选择. 解答: 解:如图所示,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在第一象限. 故选:A.
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            点评: 本题考查了轴对称的性质.此题难度不大,采用了“数形结合”的数学思想. 7. (3 分) (2014?柳州)学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图,那么这些志愿者 年龄的众数是( )

            A.12 岁

            B.13 岁

            C.14 岁

            D.15 岁

            考点: 条形统计图;众数. 分析: 根据众数的定义,就是出现次数最多的数,据此即可判断. 解答: 解:众数是 14 岁. 故选 C. 点评: 本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解 决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
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            8. (3 分) (2014?柳州)如图,当半径分别是 5 和 r 的两圆⊙ O1 和⊙ O2 外切时,它们的圆心 距 O1O2=8,则⊙ O2 的半径 r 为( )

            A.12

            B.8

            C.5

            D.3

            考点: 圆与圆的位置关系. 分析: 根据两圆外切时,圆心距=两圆半径的和求解. 解答: 解:根据两圆外切,圆心距等于两圆半径之和,得该圆的半径是 8﹣5=3. 故选 D. 点评: 本题考查了圆与圆的位置关系,注意:两圆外切,圆心距等于两圆半径之和.
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            9. (3 分) (2014?柳州)在下列所给出的 4 个图形中,对角线一定互相垂直的是( A. B. C. D.

            )

            长方形

            平行四边形

            菱形

            直角梯形

            考点: 多边形. 分析: 根据菱形的对角线互相垂直即可判断. 解答: 解:菱形的对角线互相垂直,而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相 垂直. 故选 C. 点评: 本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质.常见四边形中,菱形与正 方形的对角线互相垂直.
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            10. (3 分) (2014?柳州)如图,正六边形的每一个内角都相等,则其中一个内角 α 的度数 是( )

            A.240°

            B.120°

            C.60°

            D.30°

            考点: 多边形内角与外角. 分析: 多边形的内角和可以表示成(n﹣2)?180°,因为所给多边形的每个内角均相等,可 设这个正六边形的每一个内角的度数为 x,故又可表示成 6x,列方程可求解. 解答: 解:设这个正六边形的每一个内角的度数为 x, 则 6x=(6﹣2)?180°, 解得 x=120°. 故这个正六边形的每一个内角的度数为 120°. 故答案选:B. 点评: 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数, 解答时要会根据公式 进行正确运算、变形和数据处理.
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            11. (3 分) (2014?柳州) 小兰画了一个函数 y=x +ax+b 的图象如图, 则关于 x 的方程 x +ax+b=0 的解是( )

            2

            2

            A.无解

            B.x=1

            C.x=﹣4

            D.x=﹣1 或 x=4

            考点: 抛物线与 x 轴的交点. 2 2 分析: 关于 x 的方程 x +ax+b=0 的解是抛物线 y=x +ax+b 与 x 轴交点的横坐标. 2 解答: 解:如图,∵ 函数 y=x +ax+b 的图象与 x 轴交点坐标分别是(﹣1,0) , (4,0) , 2 ∴ 关于 x 的方程 x +ax+b=0 的解是 x=﹣1 或 x=4. 故选:D.
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            2 点评: 本题考查了抛物线与 x 轴的交点.求二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 2 与 x 轴的交点坐标,令 y=0,即 ax +bx+c=0,解关于 x 的一元二次方程即可求得交点 横坐标.

            12. (3 分) (2014?柳州)如图,每个灯泡能否通电发光的概率都是 0.5,当合上开关时,至 少有一个灯泡发光的概率是( )

            A.0.25

            B.0.5

            C.0.75

            D.0.95

            考点: 列表法与树状图法. 专题: 计算题. 分析: 根据题意列出表格,得出所有等可能的情况数,找出至少有一个灯泡发光的情况数, 即可求出所求的概率. 解答: 解:列表如下: 灯泡 1 发光 灯泡 1 不发光
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            灯泡 2 发光 (发光,发光) (不发光,发光) 灯泡 2 不发光 (发光,不发光) (不发光,不发光) 所有等可能的情况有 4 种,其中至少有一个灯泡发光的情况有 3 种, 则 P= =0.75. 故选 C. 点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 13. (3 分) (2014?柳州)3 的相反数是 ﹣3 . 考点: 相反数. 分析: 此题依据相反数的概念求值.相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0 的相反数是 0. 解答: 解:3 的相反数就是﹣3. 点评: 此题主要考查相反数的概念.
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            14. (3 分) (2014?柳州)如图,身高为 xcm 的 1 号同学与身高为 ycm 的 2 号同学站在一起 时,如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成 x < y(用“>” 或“<”填空) .

            考点: 不等式的定义. 分析: 由图知 1 号同学比 2 号同学矮,据此可解答. 解答: 解:如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成 x<y, 故答案为:<. 点评: 本题主要考查了不等式的定义,仔细看图是解题的关键.
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            15. (3 分) (2014?柳州)如图,等腰梯形 ABCD 的周长为 16,BC=4,CD=3,则 AB=

            5 .

            考点: 等腰梯形的性质. 分析: 根据等腰梯形的性质可得出 AD=BC,再由 BC=4,CD=3,得出 AB 的长. 解答: 解:∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形,
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            ∴ AD=BC, ∵ BC=4, ∴ AD=4, ∵ CD=3,等腰梯形 ABCD 的周长为 16, ∴ AB=16﹣3﹣4﹣4=5, 故答案为 5. 点评: 本题考查了等腰梯形的性质,是基础知识要熟练掌握.

            16. (3 分) (2014?柳州)方程 ﹣1=0 的解是 x= 2 .

            考点: 解分式方程. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分 式方程的解. 解答: 解:去分母得:2﹣x=0, 解得:x=2, 经检验 x=2 是分式方程的解. 故答案为:2. 点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整 式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
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            17. (3 分) (2014?柳州)将直线 y= x 向上平移 7 个单位后得到直线 y= x+7.

            考点: 一次函数图象与几何变换. 分析: 直接根据“上加下减”的原则进行解答. 解答: 解:由“上加下减”的原则可知,将直线 y= x 向上平移 7 个单位所得直线的解析式为:
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            y= x+7. 故答案为:7. 点评: 本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减”的原则是解答此题的关 键. 18. (3 分) (2014?柳州) 如图, 在△ ABC 中, 分别以 AC, BC 为边作等边△ ACD 和等边△ BCE. 设 △ ACD、△ BCE、△ ABC 的面积分别是 S1、S2、S3,现有如下结论: 2 2 ① S1:S2=AC :BC ; ② 连接 AE,BD,则△ BCD≌ △ ECA; ③ 若 AC⊥ BC,则 S1?S2= S3 . 其中结论正确的序号是 ① ② ③ .
            2

            考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 分析: ① 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断; ② 根据 SAS 即可求得全等; ③ 根据面积公式即可判断. 2 2 解答: ① S1:S2=AC :BC 正确, 解:∵ △ ADC 与△ BCE 是等边三角形, ∴ △ ADC∽ △ BCE,
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            ∴ S1:S2=AC :BC . ② △ BCD≌ △ ECA 正确, 证明:∵ △ ADC 与△ BCE 是等边三角形, ∴ ∠ ACD=∠ BCE=60° ∴ ∠ ACD+∠ ACB=∠ BCE+∠ ACD, 即∠ ACE=∠ DCB, 在△ ACE 与△ DCB 中, , ∴ △ BCD≌ △ ECA(SAS) . ③ 若 AC⊥ BC,则 S1?S2= S3 正确, 解: 设等边三角形 ADC 的边长=a, 等边三角形 BCE 边长=b, 则△ ADC 的高= 的高= ∴ S1= a ∴ S1?S2= ∵ S3= ab, ∴ S3 = a b , ∴ S1?S2= S3 .
            2 2 2 2 2

            2

            2

            a, △ BCE

            b, a= a
            2

            a ,S2= b b=
            2

            2

            b=

            b,

            2

            ab,

            2 2

            点评: 本题考查了三角形全等的判定,等边三角形的性质,面积公式以及相似三角形面积的 比等于相似比的平方. 三、解答题(共 8 小题,满分 66 分) 19. (6 分) (2014?柳州)计算:2×(﹣5)+3. 考点: 有理数的乘法;有理数的加法. 分析: 根据异号两数相乘得负,并把绝对值相乘,可得积,再根据有理数的加法,可得答案. 解答: 解:原式=﹣10+3 =﹣7. 点评: 本题考查了有理数的乘法,先算有理数的乘法,再算有理数的加法,注意运算符号.
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            20. (6 分) (2014?柳州)一位射击运动员在 10 次射击训练中,命中靶的环数如图. 请你根据图表,完成下列问题: (1)补充完成下面成绩表单的填写: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序次 8 10 7 9 10 7 10 成绩/环 (2)求该运动员这 10 次射击训练的平均成绩.

            考点: 折线统计图;统计表;算术平均数. 分析: 根据折线统计图中提供的信息,补全统计表; (2)求出该运动员射击总环数除以 10 即可. 解答: 解: (1)由折线统计图得出第一次射击环数为:8,第二次射击环数为:9,第三次射 击环数为:7, 故答案为:8,9,7. (2) 运动员这 10 次射击训练的平均成绩: (8+9+7+8+10+7+9+10+7+10) ÷10=8.5 (环) . 点评: 本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数, 解题的关键是能从折线统计图中正确 找出数据.
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            21. (6 分) (2014?柳州)小张把两个大小不同的苹果放到天平上称,当天平保持平衡时的 砝码重量如图所示.问:这两个苹果的重量分别为多少 g?

            考点: 二元一次方程组的应用. 分析: 设大苹果的重量为 xg,小苹果的重量为 yg,根据图示可得:大苹果的重量=小苹果 +50g,大苹果+小苹果=300g+50g,据此列方程组求解. 解答: 解:设大苹果的重量为 xg,小苹果的重量为 yg,
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            由题意得, 解得: .

            ,

            答:大苹果的重量为 200g,小苹果的重量为 150g. 点评: 本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是根据图形,找出等量关系,列 方程组求解. 22. (8 分) (2014?柳州)如图,在△ ABC 中,BD⊥ AC,AB=6,AC=5 ① 求 BD 和 AD 的长; ② 求 tan∠ C 的值. ,∠ A=30°.

            考点: 解直角三角形;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: (1)由 BD⊥ AC 得到∠ ADB=∠ ADC=90°,在 Rt△ ADB 中,根据含 30 度的直角三角形
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            三边的关系先得到 BD= AB=3,再得到 AD=

            BD=3



            (2)先计算出 CD=2 ,然后在 Rt△ ADC 中,利用正切的定义求解. 解答: 解: (1)∵ BD⊥ AC, ∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°, 在 Rt△ ADB 中,AB=6,∠ A=30°, ∴ BD= AB=3, ∴ AD= BD=3 ;

            (2)CD=AC﹣AD=5 在 Rt△ ADC 中,tan∠ C=

            ﹣3 =

            =2 =

            , .

            点评: 本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形.也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系. 23. (8 分) (2014?柳州)如图,函数 y= 的图象过点 A(1,2) . (1) 求该函数的解析式; (2)过点 A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足为 B 和 C,求四边形 ABOC 的面积; (3)求证:过此函数图象上任意一点分别向 x 轴和 y 轴作垂线,这两条垂线与两坐标轴所 围成矩形的面积为定值.

            考点: 待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数系数 k 的几何意义. 分析: (1)将点 A 的坐标代入反比例函数解析式,即可求出 k 值; (2)由于点 A 是反比例函数上一点,矩形 ABOC 的面积 S=|k|. (3)设图象上任一点的坐标(x ,y) ,根据矩形的面积公 式,可得出结论. 解答: 解: (1)∵ 函数 y= 的图象过点 A(1,2) ,
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            ∴ 将点 A 的坐标代入反比例函数解析式, 得 2= ,解得:k=2, ∴ 反比例函数的解析式为 y= ;

            (2)∵ 点 A 是反比例函数上一点, ∴ 矩形 ABO C 的面积 S=AC?AB=|xy|=|k|=2. (3)设图象上任一点的坐标(x,y) , ∴ 过这点分别向 x 轴和 y 轴作垂线,矩形面积为|xy|=|k|=2, ∴ 矩形的面积为定值. 点评: 本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数 y= 中 k 的几何意义, 注意掌握过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的 一个知识点.

            24. (10 分) (2014?柳州)如图,在△ ABC 中,∠ BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 E,交△ ABC 的外接圆⊙ O 于 D. (1)求证:△ ABE∽ △ ADC; (2)请连接 BD,OB,OC,OD,且 OD 交 BC 于点 F,若点 F 恰好是 OD 的中点.求证: 四边形 OBDC 是菱形.

            考点: 相似三角形的判定与性质;菱形的判定;圆周角定理. 专题: 证明题. 分析: (1)根据圆周角定理求出∠ B=∠ D,根据相似三角形的判定推出即可; (2)根据垂径定理求出 OD⊥ BC,根据线段垂直平分线性质得出 OB=BD,OC=CD, 根据菱形的判定推出即可. 解答: 证明: (1)∵ ∠ BAC 的角平分线 AD, ∴ ∠ BAE=∠ CAD, ∵ ∠ B=∠ D, ∴ △ ABE∽ △ ADC;
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            (2) ∵ ∠ BAD=∠ CAD, ∴ 弧 BD=弧 CD, ∵ OD 为半径, ∴ DO⊥ BC, ∵ F 为 OD 的中点, ∴ OB=BD,OC=CD, ∵ OB=OC, ∴ OB=BD=CD=OC, ∴ 四边形 OBDC 是菱形. 点评: 本题考查了相似三角形的判定,圆周角定理,垂径定理,菱形的判定,线段垂直平分 线性质的应用,主要考查学生的推理能力. 25. (10 分) (2014?柳州)如图,正方形 ABCD 的边长为 l,AB 边上有一动点 P,连接 PD, 线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°后,得到线段 PE,且 PE 交 BC 于 F,连接 DF,过点 E 作 EQ⊥ AB 的延长线于点 Q.

            (1)求线段 PQ 的长; (2)问:点 P 在何处时,△ PFD∽ △ BFP,并说明理由.

            考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析: (1) 由题意得: PD=PE, ∠ DPE=90°, 又由正方形 ABCD 的边长为 l, 易证得△ ADP≌ △ QPE, 然后由全等三角形的性质,求得线段 PQ 的长; (2)易证得△ DAP∽ △ PBF,又由△ PFD∽ △ BFP,根据相似三角形的对应边成比例,可得 证得 PA=PB,则可求得答案. 解答: 解: (1)根据题意得:PD=PE,∠ DPE=90°, ∴ ∠ APD+∠ QPE=90°, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ A=90°, ∴ ∠ ADP+∠ APD=90°, ∴ ∠ ADP=∠ QPE, ∵ EQ⊥ AB, ∴ ∠ A=∠ Q=90°, 在△ ADP 和△ QPE 中,
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            , ∴ △ ADP≌ △ QPE(AAS) , ∴ PQ=AD=1; (2)∵ △ PFD∽ △ BFP, ∴ ,

            ∵ ∠ ADP=∠ EPB,∠ CBP=∠ A, ∴ △ DAP∽ △ PBF, ∴ ∴ , ,

            ∴ PA=PB, ∴ PA= AB = ∴ 当 PA= 时,△ PFD∽ △ BFP. 点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的 性质以及全等三角形的判定与性

            质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

            26. (12 分) (2014?柳州)已知二次函数图象的顶点坐标为(0,1) ,且过点(﹣1, ) ,直 线 y=kx+2 与 y 轴相交于点 P,与二次函数图象交于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)求该二次函数的解析式. (2)对(1)中的二次函数,当自变量 x 取值范围在﹣1<x<3 时,请写出其函数值 y 的取 值范围; (不必说明理由) (3)求证:在此二次函数图象下方的 y 轴上,必存在定点 G,使△ ABG 的内切圆的圆心落 在 y 轴上,并求△ GAB 面积的最小值. (注:在解题过程中,你也可以阅读后面的材料) 附:阅读材料 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的 比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比. 即:设一元二次方程 ax +bx+c=0 的两根为 x1,x2, 则:x1+x2=﹣ ,x1?x2= 能灵活运用这种关系,有时可以使解题更为简单. 2 例:不解方程,求方程 x ﹣3x=15 两根的和与积. 2 解:原方程变为:x ﹣3x﹣15=0 ∵ 一元二次方程的根与系数有关系:x1+x2=﹣ ,x1?x2= ∴ 原方程两根之和=﹣ =3,两根之积= =﹣15.
            2

            考点: 二次函数综合题;完全平方公式;根与系数的关系;待定系数法求一次函数解析式; 二次函数的图象;待定系数法求二次函数解析式;三角形的内切圆与内心. 专题: 压轴题. 分析: 2 (1)设二次函数解析式为 y=ax +1,由于点(﹣1, )在二次函数图象上,把该点
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            的坐标代入 y=ax +1,即可求出 a,从而求出二次函数的解析式. (2)先分别求出 x=﹣1,x=0,x=3 时 y 的值,然后结合图象就可得到 y 的取值范围. (3)由于△ ABG 的内切圆的圆心落在 y 轴上,因此 GP 平分∠ AGB.过点 A 作 GP 的 对称点 A′ ,则点 A′ 必在 BG 上.由于点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)在直线 y=kx+2 上,

            2

            从而可以得到点 A 的坐标为(x1,kx1+2) 、A′ 的坐标为(﹣x1,kx1+2) 、B 的坐标为 (x2,kx2+2) .设直线 BG 的解析式为 y=mx+n,则点 G 的坐标为(0,n) .由于点 A′ (﹣x1,kx1+2) 、B(x2,kx2+2) 在直线 BG 上,可用含有 k、x1、x2 的代数式表示 n.由于 A、B 是直线 y=kx+2 与抛物线 y= x +1 的交点,由根与系数的关系可得: x1 +x2=4k,x1?x2=﹣4.从而求出 n=0,即可证出:在此二次函数图象下方的 y 轴上, 存在定点 G(0,0) ,使△ ABG 的内切圆的圆心落在 y 轴上.由 S△ABG=S△APG+S△BPG, 可以得到 S△ABG=x2﹣x1= =4 , 所以当 k=0 时, S△ABG
            2

            最小,最小值为 4. 解答: (1)解:由于二次函数图象的顶点坐标为(0,1) , 2 因此二次函数的解析式可设为 y=ax +1. ∵ 抛物线 y=ax +1 过点(﹣1, ) , ∴ =a+1. 解得:a= . ∴ 二次函数的解析式为:y= x +1.
            2 2

            (2)解:当 x=﹣1 时,y= , 当 x=0 时,y=1, 当 x=3 时,y= ×3 +1=
            2

            , .

            结合图 1 可得:当﹣1<x<3 时,y 的取值范围是 1≤y<

            (3)① 证明:∵ △ ABG 的内切圆的圆心落在 y 轴上, ∴ GP 平分∠ AGB. ∴ 直线 GP 是∠ AGB 的对称轴. 过点 A 作 GP 的对称点 A′ ,如图 2, 则点 A′ 一定在 BG 上. ∵ 点 A 的坐标为(x1,y1) , ∴ 点 A′ 的坐标为(﹣x1,y1) . ∵ 点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)在直线 y=kx+2 上, ∴ y1=kx1+2,y2=kx2+2. ∴ 点 A′ 的坐标为(﹣x1,kx1+2) 、点 B 的坐标为(x2,kx2+2) . 设直线 BG 的解析式为 y=mx+n,则点 G 的坐标为(0,n) . ∵ 点 A′ (﹣x1,kx1+2) 、B(x2,kx2+2)在直线 BG 上, ∴ .

            解得:



            ∵ A(x1,y1) ,B(x2,y2)是直线 y=kx+2 与抛物线 y= x +1 的交点, ∴ x1、x2 是方程 kx+2= x +1 即 x ﹣4kx﹣4=0 的两个实数根. ∴ 由根与系数的关系可得;x1+x2=4k,x1?x2=﹣4. ∴ n= =﹣2+2=0.
            2 2

            2

            ∴ 点 G 的坐标为(0,0) . ∴ 在此二次函数图象下方的 y 轴上,存在定点 G(0,0) ,使△ ABG 的内切圆的圆心落 在 y 轴上. ② 解:过点 A 作 AC⊥ OP,垂足为 C,过点 B 作 BD⊥ OP,垂足为 D,如图 2, ∵ 直线 y=kx+2 与 y 轴相交于点 P, ∴ 点 P 的坐标为(0,2) . ∴ PG=2. ∴ S△ABG=S△APG+S△BPG = PG?AC+ PG?BD = PG?(AC+BD) = ×2×(﹣x1+x2) =x2﹣x1 = = = =4 .

            ∴ 当 k=0 时,S△ABG 最小,最小值为 4. ∴ △ GAB 面积的最小值为 4.

            点评: 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形 的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识,综合性比较强,有一定的难度.


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